線性方程組的解法及軟件實現

田睿

【摘要】一般線性方程組的性質和其求解方法是基礎數學領域下代數分支的基本內容，在其解的研究發展中產生了矩陣、秩以及行列式等概念。本文圍繞線性方程組的求解，從解的存在定理、解的三種基本解法等理論研究到手動求解。再從手動求解到利用軟件進行求解做了一系列系統的探究，其中軟件部分是針對MATLAB，Python的實際應用。

【關鍵詞】線性方程組 ?解的存在定理 ?三種解法 ?Matlab ?Python

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0143-03

線性方程組及其解法涉及到秩、矩陣、行列式、向量等高階線性代數的基本概念，是線性代數的基本內容。本篇論文中研究的線性方程組及其解法是我們小學、初高中線性方程組解法的更高階的知識擴充，是用矩陣和行列式等概念將方程組本身和它的解的結構抽象出來，從簡單的解具體線性方程組的現象中提煉出求解步驟的本質規律的過程。本篇論文從理論入手，介紹了線性方程組的定義，深入地研究了線性方程組的三種解法及其相互對比，然后用手動求解具體案例的方法加以應用，最后研究總結了如何利用Matlab和Python軟件進行求解線性方程組。

1.線性方程組解的相關定義

1.1線性方程組及矩陣

一般線性方程組的形式為：

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……am1x1+am2x2+…+amnxn=bm ? ? ? （1）

其中x1，x2，…，xn是n個未知量（也稱為“元”），其余都為常數項。

線性方程組（1）的系數矩陣記為：

A=■

線性方程組（1）的增廣矩陣記為：

■

當b1，b2，…，bm全都等于0時所對應的方程組稱為（1）的導出組。

1.2矩陣的乘法

兩個矩陣相乘依然得出一個矩陣，且定義規定兩個矩陣能夠相乘當且僅當矩陣一的列數和等于矩陣二的行數，即設m、n、p均為常數，那么形狀為m？鄢n與 n？鄢p的兩個矩陣可以相乘，并且按照如下規則進行計算：

（AB）ij=■aikbkj=ai1b1j+ai2b2j+…+aipbpj

例如：

若A=■ B=■

則C=AB=■

2.線性方程組的求解方法

2.1高斯消元法

高斯消元法的本質是不斷的利用三種初等變換對線性方程組進行消元，最后使得方程組呈現階梯型。其中初等變換總共分為三種：

（1）讓方程乘以一個非0的數

（2）兩個方程相加

（3）互換兩個方程的位置

其中基于的原理為：對方程組進行以上三種初等變換本質上只是對未知數前的系數進行乘法和加法，不會使得方程組的解有變化。根據最后所得的階梯型矩陣的具體情況可知線性方程組的解分為三種情況：

（1）無解。若所得梯形方程組為：

c11x1+c12x2+…+c1rxr+…+c1nxn=d1， ? ? ? c22x2+…+c2rxr+…+c2nxn=d2， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?…… ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?crrxr+…+crnxn=dr， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0=dr+1， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0=0， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0=0.

其中d1，d2…dr，dr+1均不為零，由于0等于非0的數始終不成立，所以方程組無解。

（2）有唯一解：

若所得階梯方程組為：

c11x1+c12x2+…+c1nxn=d1， ? ? ? c22x2+…+c2nxn=d2， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?…… ? ? ? ? ? ? ? ? ? cnnxn=dn.

最終仍有n個非0的方程，那么通過xn=dn/cnn層層倒推可得出相應唯一的一組xn-1，…，x2，x1。

（3）有無數組解：

若所得階梯方程組為：

c11x1+c12x2+…+c1rxr+c1r+1xr+1+…+c1nxn=d1， ? ? ? c22x2+…+c2rxr+c2r+1xr+1+…+c2nxn=d2， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?crrxr+crr+1xr+1+…+crnxn=dn.

此時r<n，可將任意一組滿足條件的xr，xr+1，…xn帶入第r個方程，再將第r個方程分別帶入前r-1個方程，可分別求出一組x1，x2…xr-1。因為可找到無數組滿足第r個方程的xr，xr+1…xn，所以線性方程組有無數組解。

綜上所述，

（1）若r（A）≠ r（[A，b]），則無解（其中r代表秩）;

（2）若r（A）=r（[A，b]）=n，則有唯一解，

（3）若r（A）≠r（[A，b]）<n，則有無數解。

容易證明，在第情況（3）下，該方程組任意一個解，都可以用該線性方程組的一個特解及其導出組的基礎解系刻畫。

2.2 Cramer法則

行列式在數學中是一個函數，自變量是正方形矩陣，輸出的是一個數，記作det（A）或 | A | 。

Cramer法則即：若| A |≠0，則方程組有唯一解。且| A |≠0時，方程組的唯一解有如下具體的計算公式：

x1=■，x2=■，…，xn=■

其中dj 是把矩陣A中第j 列換成方程組的常數項 b1，b2，…所成的矩陣的行列式，即

dj=■，j=1，2，…，n.

2.3 逆矩陣法

逆矩陣：設A、B均為方陣，若A？鄢B=E（其中E為單位矩陣），則B和A互為逆矩陣。

對于方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

A=■ X=■ B=■

翻譯成矩陣的“語言”，上式等價于AX=B，若A的逆矩陣存在，左右兩邊同時乘以A-1，則等式變為X=A-1B，從而得到了方程組的解。因此只要求得矩陣A的逆矩陣便可求得方程租的解，可用如下方法求得逆矩陣：

行初等變換法求逆矩陣：

A=■

E=■（E共有n行n列）

（A|E）=■

對（A|E）進行初等變換，并將左邊化為單位矩陣，那么與之得出的對應的右邊部分即為A-1，即得到（E| A-1）：

（E|A∧（-1））=■

則A的逆矩陣為：

A∧（-1）=■

由此可求得方程組的解。

2.4 線性方程組三種解法對比及聯系

（1）高斯消元法的缺點

不適用于未知數多或方程個數多的情況，過于繁瑣。

（2）若A為方陣，可先用Cramer法則確定線性方程組是否有唯一解后，再選擇用或不用高斯消元法求解。

若| A |=0，則可用高斯消元法求得方程組唯一解。

若| A |≠0，則方程組無解或有無數組解。此時，當r<n時，方程組有無數組解;反之無解。

（3）Cramer法則缺點

①求解效率較低。

②當| A |=0時，不能確定是無解還是有無窮多組解。

③只適用于n？鄢n的矩陣。

2.5 三種解法的實際運用舉例

x1-2x2+3x3-4x4=4x2-x3+x4=-3x1+3x2+x4=1-7x2+3x3+x4=-3

（1）高斯消元法

■→■→■ 由此方程組化為：

x1-2x2+3x3-4x4=4 ? ? ? x2-x3+x4=-3 ? ? ? -x3+2x4=-6 ? ? ? ? ?-2x3=-12→x1=-8x2=3x3=6x4=0

（2）Cramer法則

系數矩陣的行列式=■

=■+2■+3■+4■

=（0-3+7+3-0+9）+2（0-0+0+1-0+3）+3（0-0+0-1-0-7）+4（0-0+0-3-0+7）=16+8-24+16=16≠0，因此有唯一解

d=16

d1=■=■-3■-■

=（2+6+3+21+28-12）-3（-4-12-9+9+12+36）-（12-28+18+6+9+63）=48-96-80=-128

d2=■=■-4■+3■+4■

=（0+9+1+3+3+0）-4（0+0+1+0+0+3）+3（0+0+3+0+0+3）+4（0+0+9+0+0+3）=16-16+18+48=66

d3=■=96 d4=■=0

x1=d1/d=-8x2=d2/d=3x3=d3/d=6x4=d4/d=0

（3）逆矩陣乘積法

（A|E）=■→■ →■→■→■

因此A^（-1）=■

X= A^（-1）B=■ ■=■

x1=-8x23x3=6x4=0

3.利用軟件求解線性方程組

3.1 利用MATLAB進行求解

方法一：X=A＼b

對m×n的線性方程組，用函數rank（）查看A和（A，b）的秩，

（1）若rank（A）= rank （|A，b|）=n，則X=A＼b輸出方程的唯一解。

（2）若rank （A）= rank （|A，b|）<n，方程組有無數組解，此時X=A＼b的輸出結果為方程租的一個特解，需進一步用null（A）或null（A.‘r）（其中r為A的秩）找到方程組的基礎解系。

（3）若rank （A） ≠rank （|A，b|），此時輸出結果為空。

方法二：X=inv（A）？鄢b

此方法為逆矩陣法。適用于m=n=rank （A）的情形。

方法三：X=pinv（A）？鄢b

適用于無解的情形，輸出的為近似解。

方法四：用Cramer法則直接帶入行列式公式（行列式用det（）函數），適用于有唯一解的情況。

3.2利用Python進行求解

利用sympy包中的solve函數：

示例：

from sympy import？鄢

a=Matrix（[[1，1，3]，[1，2，4]]） #定義系數矩陣

b=Matrix（[[1，2]]） ? #定義等號右邊常數向量

x=symarray（‘x，3） ?#定義未知數個數

solve（a？鄢x-b）

若結果為空，則方程組無解;

若結果為常數解，則其為唯一的解;

若結果帶有自由變量，類似于{x_0：-2x_2，x_1：-x_2+1}，則方程組有無數組解。

參考文獻：

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