牛頓-萊布尼茨公式教學方式研究

易強 呂希元

【摘要】探討一元函數微積分中牛頓-萊布尼茨公式的教學，針對 牛-萊公式的廣泛運用，舉例說明它在求解實際問題中起的簡便實用的運用。

【關鍵詞】微積分 ?積分限 ?原函數

【中圖分類號】O172 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0167-02

一元函數微積分中求定積分的值是很重要的一部分內容，而求解定積分的最關鍵點就是利用牛頓-萊布尼茨公式，該公式的關鍵點又是能夠準確找出原函數，在多年的教學實踐中發現，學生在運用牛頓-萊布尼茨公式求積分依然存在很多問題。

一、牛頓-萊布尼茨公式介紹

定理：若F（x）是連續函數f（x）在區間[a，b]上的一個原函數，公式■ f（x）dx=F（b）-F（a） 稱為牛頓-萊布尼茨公式。

證：取Ф（x）=■f（t）dt，則F（x）-Ф（x）=C（a≤x≤b），令x=a時，得F（a）-Ф（a）=C，而Ф（a）=■f（t）dt=0，從而得C=F（a），故F（x）-Ф（a）=F（a），則F（x）-F（a）=Ф（x）=■f（t）dt，再取x=b得：F（b）-F（a）=■f（t）dt，從而：■f（x）dx=F（b）-F（a）。

二、運用

例1.設函數f（x）在[0，1]上連續，且滿足f（x）=x·■f（t）dt-1，求■f（x）dt及f（x）。

解：令A=■f（t）dt，則f（x）=Ax-1，兩邊同時從0到1作定積分，可得：

■f（x）dx=A·■xdx-■dx

即：A=■A-1，從而A=■f（x）dx=-2，從而f（x）=-2x-1。

以上的求解，主要利用定積分的含義是一個常數，故將■f（x）dx令成常數，然后兩邊再積分，借助牛頓-萊布尼茲公式很容易求得f（x）。

例2.汽車以每小時36km的速度行駛，到某處需要減速停車，設汽車以等加速度a=-5m/s2剎車。問從開始剎車到停車，汽車駛過了多少距離？

解：首先要算出從開始剎車到停車經過的時間，設開始剎車的時刻為t=0，此時汽車速度為：v0=36km/h=■m/s=10m/s，剎車后汽車減速行駛，其速度為：v（t）=v0+at=10-5t，當汽車停住時，速度v（t）=0，故由v（t）=10-5t=0，得t=2（s）。于是這段時間內，汽車所駛過的距離為：S=■v（t）dt=■（10-5t）dt=10t-5×■■■■=10（m）

即在剎車后，汽車需駛過10m才能停住。

利用牛頓-萊布尼茨公式可以在實際問題中來求解汽車制動后的剎車距離。

例3.證明定積分公式：

In=■sinnxdx=■·■…■·■·■·■，n為正偶數■·■…■·■·■，n為正奇數

證：易見I0=■dx=■，I1=■sinxdx=-cosx■■=1，

當n≥2時，In=■sinnxdx=-■sinn-1xdcosx

=（-sinn-1x·cosx）■■+（n-1）■sinn-2xcos2xdx

=（n-1）■sinn-2x（1-sin2x）dx

=（n-1）·■sinn-2xdx-（n-1）·■sinnxdx

=（n-1）·In-2-（n-1）·In

故In=■·In-2。

反復使用遞推公式，可得：

當n為偶數時，

In=■·■…■·■·I0=■·■…■;

當n為奇數時，

In=■·■…■·■·I1=■·■…■·■·1。

注：對■cosnxdx有同樣的結論。

例：利用上題結論計算■cos5■dx。

解：令■=t，則dx=2dt，于是：

■cos5■dx=2■cos5tdt=2×■×■=■。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014：132-137.

[2]侯國亮.關于定積分元素分析法的一種新理解[J].長春師范大學學報，2014（4）：17-19.

[3]王永祥.應用經濟數學[M].上海：上海交通大學出版社，2004.

[4]牟俊霖，李青吉.洞穿考研數學：理工類[M].北京：航空工業出版社，2003.

[5]袁建軍，歐曾奇.高等數學中用洛必達法則求極限需注意的問題[J].西南大學學報（自然科學版）2012（6）：241-244.