泰勒公式的若干典型應用

摘 要：高等數學中的一個非常重要的公式就是泰勒公式，本文通過具體實例介紹了泰勒公式的幾種不同的典型應用。

關鍵詞：泰勒公式；極限，定積分，微分方程；偏微分方程；行列式

由于某些數值計算和理論分析的需要，對于一些稍微復雜的函數，我們經常需要用一些合適的多項式等相對簡單的函數來近似表示，其中泰勒公式是精確度比較高的一種。下面將介紹泰勒公式的幾種典型應用。

一、 求函數的極限

例1 求極限limx→0cosx-e-x22x2[x+ln（1-x）]。

根據泰勒公式知cosx=1-x22+x44！+o（x4）；

e-x22=1+-x22+12-x222+o（x4）

ln（1-x）=-x-12x2+o（x4），則

原式=1-x22+x44！+o（x4）-1+-x22+12-x222+o（x4）x2

x-x-12x2+o（x4）

=14！-18x4+o（x4）-12x4+o（x4）=16.

二、 求函數的積分

例2 計算∫10arctanxxdx

由泰勒公式得arctanx=x-x33+x55-…+（-1）nx2n+12n+1+…

原式=∫101-x23+x45-…+（-1）nx2n2n+1+…dx

=x-x39+x525-x749+…

10

=1-19+125-149+…

三、 求微分方程的解

例3 求微分方程（1-x）y′=x2-y的解。

設y=∑∞n=0anxn是方程的解，代入方程得（1-x）∑∞n=1nanxn-1=x2-∑∞n=0anxn

整理得∑∞n=0[（n+1）an+1+（1-n）an]xn=x2

比較系數得a1=-a0；a2=0；a3=13；…；an=2n（n-1）（n≥4）

于是y=a0-a0x+13x3+16x4+110x5+…+2n（n-1）xn+…

四、 求解偏微分方程

例4 設u（x，y）對x和y的高階偏導數存在，求解變系數微分方程

yvxx+vyy=2x，

v（x，0）=3x2，

vy（x，0）=x.假設方程的解屬于C∞。

解：由方程yvxx+vyy=2x，知vyy=-yvxx+2x，令y=0，得vyy（x，0）=2x。

由v（x，0）=x2關于x求二階偏導得vxx（x，0）=6

再對方程yvxx+vyy=2x兩邊關于y求偏導得vyyy=-vxx-yvxxy，也令y=0，有vyyy（x，0）=-vxx（x，0）-0=-vxx（x，0）=-6

同理易得vyyyy（x，0）=vyyyyy（x，0）=…=0

然后根據麥克勞林公式的廣義表達式可得v（x，y）=v（x，0）+vy（x，0）y+12！vyy（x，0）y2+13！vyyy（x，0）y3+14！vyyyy（x，0）y4+…代入上式得v（x，y）=3x2+xy+xy2-y3

易證求得的解滿足所給方程及其初值條件。

五、 求行列式的值

首先根據行列式的特點構造對應的行列式函數，然后將這個行列式按泰勒公式在具體的點展開，通過求出行列式函數的各階導數值代入公式即可。

例5 求行列式Dn=acc…c

bac…c

bba…c

……………

bbb…a

解：假設Dn（x）=xcc…c

bxc…c

bbx…c

……………

bbb…x，則Dn=Dn（a），將行列式函數Dn（x）按泰勒公式在x=c展開得

Dn（x）=Dn（c）+Dn′（c）（x-c）+Dn″（c）2！（x-c）+…+Dn（n）（c）n！（x-c）n

其中Dn（c）=ccc…c

bcc…c

bbc…c

……………

bbb…c=c（c-b）n-1。

接下來求出Dn（x）在的x=c各階導數：

Dn′（c）=nc（c-b）n-2，Dn″（c）=n（n-1）c（c-b）n-3，…D（n）n（c）=n！

然后代入泰勒展開式得：

Dn（x）=c（c-b）n-1+nc（c-b）n-2（x-c）+

n（n-1）c（c-b）n-32！（x-c）2+…+n（n-1）…2c（n-1）！（x-c）n-1+（x-c）n

特別當b=c，易得Dn（x）=nc（x-c）n-1+（x-c）n。

最后令行列式函數中的x=a就能求出行列式Dn的值。

參考文獻：

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作者簡介：劉利平，甘肅省蘭州市，甘肅政法學院網絡空間安全學院。endprint