華蘅芳對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)

薛芳+郭世榮

【摘要】華蘅芳是微積分在我國(guó)早期的翻譯者與傳播者，他與傅蘭雅翻譯的《微積溯源》是我國(guó)第二部微積分譯著，對(duì)我國(guó)微積分的發(fā)展起到了承前啟后的作用。華蘅芳作為翻譯者，對(duì)微積分有諸多獨(dú)創(chuàng)性的理解，并第一次用幾何模型解釋微積分，他對(duì)微積分的理解被后人接受、采納，收錄在諸多微積分著作中。因此，華蘅芳對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)，推動(dòng)了微積分在我國(guó)早期的發(fā)展與傳播。

【關(guān)鍵詞】華蘅芳 微積分 學(xué)算筆談 代微積拾級(jí)

【中圖分類號(hào)】G652 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）52-0228-02

一、引言

華蘅芳（1533-1902）是晚清著名數(shù)學(xué)家、教育家和翻譯家，我國(guó)近代數(shù)學(xué)的先行者和傳播者。華蘅芳自幼便厭文喜理，尤其對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣， “于故書(shū)中檢得坊本算法，心竊喜之，日夕展玩，盡通其義”[1]，“案頭所置者，惟百廿名家制義及古今算學(xué)之書(shū)，日夕流覽，舍此則取彼，舍彼則取此”[2]。華蘅芳博覽群書(shū)，對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)進(jìn)行了全面、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和研究，不僅如此，華蘅芳年少時(shí)中國(guó)爆發(fā)了鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)，戰(zhàn)后西學(xué)的傳入也引起了他的興趣。他20歲時(shí)就學(xué)習(xí)了《數(shù)理精蘊(yùn)》和《幾何原本》等西方數(shù)學(xué)知識(shí)，“始知算學(xué)有古今中西之異同”[3]。在李善蘭和偉烈亞力合譯《代數(shù)學(xué)》和《代微積拾級(jí)》期間，華蘅芳恰巧去上海墨海書(shū)館拜訪算學(xué)大家李善蘭，因此接觸到兩本譯著，并抄錄了李善蘭手稿中的諸多段落認(rèn)真研習(xí)。待《代數(shù)學(xué)》和《代微積拾級(jí)》出版后（1859年），李善蘭還親自將兩本書(shū)贈(zèng)予華蘅芳，自此華氏開(kāi)始刻苦研習(xí)微積分知識(shí)，最終讀懂弄通。1874年華蘅芳與傅蘭雅共同翻譯了第二部介紹西方微積分學(xué)的著作《微積溯源》，作為兩部譯著的學(xué)習(xí)者和翻譯者，華蘅芳對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)和理解可代表著同階段算學(xué)家的普遍認(rèn)識(shí)。

二、華蘅芳對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)

華蘅芳在深入研習(xí)《拾級(jí)》和翻譯完成《微積溯源》后，將自己對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)和體會(huì)撰寫(xiě)在《學(xué)算筆談》中，《學(xué)算筆談》共有十二卷，其中第十卷為微分、十一卷為積分?！秾W(xué)算筆談》對(duì)微積分的內(nèi)容雖僅有兩卷，但此書(shū)并不是系統(tǒng)的介紹微積分，而是闡述了華蘅芳對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)以及他認(rèn)為在學(xué)習(xí)微積分時(shí)的難點(diǎn)并予以進(jìn)一步的解釋，“《代微積拾級(jí)》《微積溯源》二書(shū)言其布算之理學(xué)者觀此二書(shū)當(dāng)可盡悉其所以然故可不必贅述矣惟其中偶有一二不易明之處則不得不為學(xué)者解之”，這是之前的微積分著作中鮮有的。因此《學(xué)算筆談》對(duì)晚清學(xué)者理解、認(rèn)識(shí)和傳播微積分起到了非常重要的推動(dòng)作用。

華蘅芳對(duì)微積分的評(píng)價(jià)也是非常高的，認(rèn)為微積分是當(dāng)時(shí)算學(xué)中至精至密之法，“第十卷而論微分第十一卷而論積分已為今日算學(xué)中極深之事矣”，而此新術(shù)是由代數(shù)之式稍變其意而來(lái)，它的創(chuàng)立是為了解決當(dāng)時(shí)代數(shù)所不能解決或難以解決的問(wèn)題，是實(shí)用性非常高的一種算學(xué)方法。微積分從代數(shù)中來(lái)又異于代數(shù)，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，“一因微分之代法與代數(shù)之代法用意不同，一因微分術(shù)中自有各種變化之法為代數(shù)術(shù)中所無(wú)”，這使得習(xí)慣傳統(tǒng)數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的晚清學(xué)者學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)非常困難，華蘅芳在《學(xué)算筆談》中也反復(fù)強(qiáng)調(diào)了這個(gè)問(wèn)題，并指出當(dāng)時(shí)學(xué)者對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)以及在學(xué)習(xí)微積分時(shí)的心態(tài)，“微分術(shù)中各種變化之法實(shí)超出乎代數(shù)之外，而不可以代數(shù)之常法解之，所以初學(xué)之人驟觀微分之書(shū)幾不知其所語(yǔ)云何，每有探索經(jīng)年而莫得其從入之途者”，由此可以印證微積分傳入早期，大多數(shù)學(xué)者認(rèn)為微積分理論晦澀難懂，不得其要甚至多年莫得其從入之門，嚴(yán)重影響了微積分在我國(guó)的傳播，因此早期微積分在我國(guó)并沒(méi)有得到很好的推廣和發(fā)展。

三、如何學(xué)習(xí)微積分

華蘅芳則認(rèn)為 “及取微分之書(shū)觀之，乃覺(jué)大謬不然，其說(shuō)理之處幾如囈語(yǔ)，其演算之法竟如兒戲”，雖然微分理論“幾如囈語(yǔ)”，然而演算的方法卻非常簡(jiǎn)單，無(wú)非加減乘除變化而得，因此學(xué)習(xí)微積分只要找對(duì)途經(jīng)，并非遙不可及之事。華蘅芳作為著名的數(shù)學(xué)教育家，總結(jié)出一套教授微積分的方法，一要知道微積分是什么，二要了微積分的用途，三要學(xué)習(xí)微積分知識(shí)，四要對(duì)難點(diǎn)解析，五要糾正之前微積分習(xí)作的錯(cuò)誤。用圖表的方式表達(dá)出來(lái)是：

概念——用途——內(nèi)容——難點(diǎn)——糾錯(cuò)

1. 概念

華蘅芳指出“欲使學(xué)者明微分之理，必先使知微分為何物，不知微分為何物未有能明微分者也”，《代微積拾級(jí)》中對(duì)微分的定義是用函數(shù)和自變量增量闡明的，這對(duì)于晚清學(xué)者來(lái)說(shuō)是非常模糊的概念，很難理解，而不清楚微積分是什么就很難進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分知識(shí)。所以華蘅芳首先闡述了他對(duì)微分與積分的理解“設(shè)有兩線于此，一稍長(zhǎng)一稍短，惟長(zhǎng)短之所差者甚微幾不能以數(shù)計(jì)，則此所差之?dāng)?shù)卽為微分。設(shè)有兩面于此，一略大一略小，其大小之所差者甚微幾不能以數(shù)計(jì)，則此所差之?dāng)?shù)亦為微分”，“惟因體之微分為面，面之微分為線，線之微分為點(diǎn)。今以微分之式而還其原，是從點(diǎn)求線，從線求面，從面求體也，則與求積之意相類，故名之曰積分術(shù)”。華蘅芳用線與線、面與面極其微小“幾不可數(shù)”的差距來(lái)定義微分，雖然此定義并不嚴(yán)謹(jǐn)，但它使得抽象的微分概念有了具體的模型，使學(xué)者更直觀的認(rèn)識(shí)微分，此微分的定義被晚清學(xué)者廣泛接受，在之后的微積分著作中都有闡述或體現(xiàn)。

2. 用途

理解概念后要了解微積分的用途，華蘅芳認(rèn)為微分與積分相輔相成、互相為用。微分的作用就是求積分的一種手段，微積分重點(diǎn)在對(duì)微分求積，已達(dá)到解決問(wèn)題的目的?！拔⒎e二術(shù)實(shí)有互相為用之勢(shì)，有積分而微分之用益神，無(wú)積分則微分之用不廣也”。華蘅芳在論述微分的作用時(shí)運(yùn)用了反證的方法，僅指出若微分無(wú)所用，就不會(huì)被創(chuàng)造出來(lái)，沒(méi)有明確分析微分的具體作用， “夫微分若無(wú)所用，則算學(xué)中何必有微分，微分之用若不廣，則算學(xué)家何必竭其心思以求微分之各式，則微分之必有大用也明矣”?？梢哉f(shuō)明華蘅芳對(duì)微分的認(rèn)識(shí)還不全面，缺乏運(yùn)用微分解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，不了解微分除與積分配合使用之外的其他用途。再一次反映了晚清學(xué)者對(duì)微積分的運(yùn)用并不廣泛，微積分沒(méi)有在解決實(shí)際問(wèn)題中起到真正的作用。endprint

3. 難點(diǎn)

在微積分學(xué)習(xí)方面，華蘅芳指出《拾級(jí)》和《溯源》已經(jīng)充分的介紹了微積分知識(shí)，所以在華氏此后的著作中不曾出現(xiàn)系統(tǒng)介紹微積分的內(nèi)容，而是將其認(rèn)為的難點(diǎn)加以論述，為學(xué)者解惑。華氏認(rèn)為學(xué)習(xí)微分的難點(diǎn)有“化之為零”與“去之不用者”、指數(shù)函數(shù)求微分、用反函數(shù)求弧之微分等，而求積分的難點(diǎn)則在于“化之之法”。 “余以為求積分之法不過(guò)從公微分式反求其函數(shù)，其理無(wú)甚難明，所不易明者各種化法耳”，“化之之法”不等同于積分，它是將不易積分的微分式通過(guò)運(yùn)算化為易于積分的微分式，初習(xí)微積分的晚清學(xué)者極易將其與積分混淆，而不得積分之要。華蘅芳深知此法的復(fù)雜性，指出“惟題之形狀萬(wàn)變不窮，故其化之之法亦非一端所能盡，有可以乘法化之者，有可以除法化之者，有可以通分之法化之者，有可以開(kāi)方之法化之者，有可以二項(xiàng)之例化之者，有可以借代之法化之者，有可以虛代之法化之者，有可以微分之法化之。種種化法各有妙用，要當(dāng)視題為何種形狀則用何法以化之”。而此法為積分的關(guān)鍵所在，華蘅芳在對(duì)積分的介紹中重點(diǎn)對(duì)“化之之法”進(jìn)行了闡述。他將積分之題大概分為三類：一是不必化者，二是可以化者，三是不可不化者，并根據(jù)這三類問(wèn)題將“化之之法”細(xì)分為十六款，詳細(xì)的說(shuō)明了化法的運(yùn)用，雖化法千變?nèi)f化，不能一一闡明，但華蘅芳的解析對(duì)晚清學(xué)者學(xué)習(xí)積分起到了非常重要的作用。

4.糾錯(cuò)

華蘅芳在研習(xí)《拾級(jí)》時(shí)發(fā)現(xiàn)了微分第三款后所列三題答案錯(cuò)誤，并在《學(xué)算筆談》中予以更正。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯為：

（1）今有，令，求

《代微積拾級(jí)》答案為=28，正確答案為=48。

（2）今有，令，求。

《代微積拾級(jí)》答案為=1596，正確答案為=3600。

（3） 今有，令，求。

《代微積拾級(jí)》答案為=2522，正確答案為=2560。

華蘅芳還指出產(chǎn)生此錯(cuò)誤的原因是將“逐秒增量”看作為“辛”即“h”，并以設(shè)題二為例，推導(dǎo)過(guò)程如下：

令得

除此之外，華蘅芳還指出《拾級(jí)》第十七卷第六款原答案有誤，但并沒(méi)有給出正確答案的解析。

四、小結(jié)

《學(xué)算筆談》可視為微積分的解析書(shū)，書(shū)中指出了微分、積分中難以被學(xué)者理解的概念、公式、運(yùn)算方法以及《代微積拾級(jí)》中的錯(cuò)誤。全書(shū)撰寫(xiě)了華氏多年鉆研微分、積分的理解與體會(huì)，較此前的微積分著作有許多獨(dú)到的見(jiàn)解，如用幾何模型與代數(shù)式結(jié)合，來(lái)解釋微分的概念；用幾何來(lái)解釋變量辛“化之為0”、“截去不用”的原因；將函數(shù)歸類；對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)加以解析等。這些理論都是華氏第一個(gè)提出，并為后世中算家采納，引用在微積分著作之中。然而《學(xué)算筆談》仍有諸多不足之處。如微分中最為重要的級(jí)數(shù)與極限的概念，書(shū)中沒(méi)有提及；諸多微分與積分的定理、公式以及例題，書(shū)中也基本省略，造成學(xué)者學(xué)習(xí)的困難。

總之，《學(xué)算筆談》中華氏對(duì)微分與積分的解析，在晚清數(shù)學(xué)中有著極其重要的意義，它標(biāo)志著中算家對(duì)微積分的理解有了一定程度的進(jìn)步，對(duì)微積分早期在中國(guó)的的傳播，起到了積極地推動(dòng)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]華衡芳.學(xué)算筆談[M] .（1884），行素軒算稿.

[2]華衡芳.行素軒時(shí)文自序[M].（1884），行素軒文存.

[3]羅密士著.偉烈亞力，李善蘭，譯.代微積拾級(jí)[M].上海：墨海書(shū)館，1859.

[4]祝濤. 華蘅芳《學(xué)算筆談》研究[D].上海交通大學(xué)，2011.

[5]羅見(jiàn)今.中國(guó)近代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)者——李善蘭、華蘅芳.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1986，增刊，22-34.endprint