求數(shù)列通項(xiàng)公式方法的研究

譚清元

摘 要：通項(xiàng)公式運(yùn)算是高中數(shù)列知識的重要組成部分，是數(shù)學(xué)邏輯思維運(yùn)用的直接體現(xiàn)。基于此，結(jié)合數(shù)學(xué)習(xí)題，對常見的數(shù)列通項(xiàng)公式方法進(jìn)行探究，總結(jié)數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)知識的靈活運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)列通項(xiàng)公式；公式計(jì)算；實(shí)例探究

一、常見的數(shù)列通項(xiàng)公式歸納

為了便于日常學(xué)習(xí)記憶，我們將數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算理解為數(shù)字排列找規(guī)律。基于此，筆者以高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)知識為研究范圍，將常見的數(shù)列通項(xiàng)公式方法歸納為：公式套用法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、觀察分析法等。在高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中，數(shù)列知識所占的比重較大，知識結(jié)構(gòu)龐大、關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，而通項(xiàng)公式計(jì)算方法更是種類多、樣式繁，因此，在實(shí)際學(xué)習(xí)中，應(yīng)將公式與實(shí)際習(xí)題條件緊密關(guān)聯(lián)，做到具體問題具體分析。

二、結(jié)合具體數(shù)學(xué)習(xí)題，分析數(shù)列通項(xiàng)公式方法

（一）公式套用法

公式套用法是高中數(shù)列知識的基礎(chǔ)部分，進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用中，無須再次進(jìn)行計(jì)算分析，只要能夠依據(jù)題干，確定數(shù)列習(xí)題計(jì)算中的類型，就可以直接套用數(shù)列公式，完成數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算。

其一，數(shù)列通項(xiàng)公式為等差數(shù)列，即按照一定順序排列的數(shù)前后兩項(xiàng)之差相同，其數(shù)列通項(xiàng)公式為：an=a1+（n-1）d，（n為正整數(shù)）。等差數(shù)列求和公式化為：當(dāng)n=1時(shí)，Sn=a1；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=。以習(xí)題為例分析，已知數(shù)列{an}，滿足an=7，an+1=-5+a1，求通項(xiàng)公式。此時(shí)進(jìn)行習(xí)題分析中，分析題干中已知條件，依據(jù)“an+1=-5+a1”，“an=7”兩個(gè)條件可知，該等差數(shù)列的首項(xiàng)為7，公差為“-5”，再將這些數(shù)據(jù)直接代入等差數(shù)列計(jì)算公式，得到通項(xiàng)公式為：an=（-25）（n-1）。

其二，數(shù)列通項(xiàng)公式為等比數(shù)列，即按照一定順序排列的數(shù)前后兩項(xiàng)之比相同，其數(shù)列通項(xiàng)公式為：an=a1×qn-1，等比求和公式為：Sn=a1+a2+a3+…+an。以習(xí)題為例分析，已知{an}是等比數(shù)列，在等比數(shù)列{an}中，若a2=8，a5=24，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。依據(jù)習(xí)題題干中“a2=8”，“a5=24”，將其代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式，計(jì)算后得到：an=3·2n-2。

（二）累加法

累加法是指數(shù)列滿足某一特定求和范圍，進(jìn)行數(shù)列計(jì)算可以按照求和數(shù)列的排列規(guī)律，逐一進(jìn)行數(shù)值遞加。以高中學(xué)習(xí)中的習(xí)題為例分析，假設(shè)數(shù)列{an}，滿足a1=，an+1=an+，求{an}通項(xiàng)公式。對此題進(jìn)行解答時(shí)，如果我們選擇公式法進(jìn)行運(yùn)算，首先要尋找首項(xiàng)和公差，但通過觀察題干，無法第一時(shí)間確定數(shù)列的公差計(jì)算方法。因此，如果該習(xí)題應(yīng)用公式法，則無法進(jìn)行快速解答。而依據(jù)題干中條件“an+1=an+”可知，該數(shù)列滿足數(shù)列{an}滿足f（n）的求和形式，因此，選擇累加法對習(xí)題中求和運(yùn)算，然后再將首項(xiàng)a1=代入，最后得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

（三）累乘法

數(shù)列計(jì)算條件中，實(shí)行公式前幾項(xiàng)的乘積運(yùn)算，并在數(shù)列乘積規(guī)律的歸納中得到數(shù)列公比，這種數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算的方式為累乘法。值得注意的是，累乘法在數(shù)列公式運(yùn)算中應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意累乘計(jì)算臨近兩項(xiàng)的乘積結(jié)果，盡量避免出現(xiàn)乘積運(yùn)算時(shí)中間項(xiàng)重復(fù)應(yīng)用，導(dǎo)致累乘運(yùn)算的計(jì)算錯誤的問題。例如：已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=，求該數(shù)列{an}的計(jì)算公式。按照計(jì)算公式an+1=分別為n賦值，可得到數(shù)列{an}的計(jì)算公式為：an=n。

經(jīng)過對累加法和累乘法進(jìn)行分析來看，兩種計(jì)算方法雖然計(jì)算方式不同，但其計(jì)算過程都是將數(shù)列{an}計(jì)算過程，借助外界有規(guī)律的計(jì)算公式進(jìn)一步推導(dǎo)出數(shù)列公式，我們在習(xí)題練習(xí)時(shí)，要善于觀察題干中給予的已知條件，從而確定正確的數(shù)列計(jì)算方法，達(dá)到提高數(shù)列習(xí)題計(jì)算速率、準(zhǔn)確性的效果。

（四）觀察分析法

觀察分析法實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要我們對數(shù)列公式基礎(chǔ)知識具有較高的熟悉度，通過習(xí)題題干知識，能夠迅速將數(shù)列基礎(chǔ)知識與已知條件聯(lián)合在一起，并進(jìn)行通項(xiàng)運(yùn)算。例如：依據(jù)數(shù)據(jù)3，5，9，17，33，…；2，22，222，2222，…歸納數(shù)列規(guī)律，得到數(shù)列通項(xiàng)公式。一般而言，這種數(shù)列公式計(jì)算形式主要以選擇或者填空的方式出現(xiàn)，我們在實(shí)際應(yīng)用中，要善于靈活結(jié)合數(shù)列基本知識實(shí)行計(jì)算。

綜上所述，數(shù)列通項(xiàng)公式常見方法分析，是提高高中數(shù)列解題速率、準(zhǔn)確率必須掌握的知識要點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列練習(xí)題，分別分析公式套用法、累加法、累乘法、觀察分析法實(shí)際應(yīng)用的計(jì)算方式，達(dá)到依據(jù)習(xí)題條件，合理應(yīng)用數(shù)列計(jì)算公式方法的學(xué)習(xí)效果。因此，求數(shù)列通項(xiàng)公式方法研究具有實(shí)際意義，是提升自身數(shù)列知識靈活應(yīng)用的有效參考理論。

參考文獻(xiàn)：

黃東，茍一泉，張桉.淺談求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法[J].湖南農(nóng)機(jī)，2011（3）：108，140.

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