淺談數學高考中的變形思想

周炳

摘 要：變形思想在數學高考解題中是一種很常見的方法，高考數學解題中，為了能在有效的時間里得到正確的答案，需要對已知條件進行有效的變形或者替代。在一般情況下，一個高考題的已知條件有多種變形思想，因題型而異，具有很強的技巧性。主要介紹了數學高考中不等式、三角函數、函數的應用等的變形思想。

關鍵詞：變形思想；解題技巧；三角函數；單調函數

在高中數學的學習中，解題的過程能讓高中數學的枯燥、乏味變得更加生動精彩，通過解題過程可以使高中生獲得數學知識的同時也掌握一些生活所必需的基本技能，近幾年來，在全國卷的數學高考考試中，不僅注重考查學生對基礎知識的掌握，而且還越來越重視學生知識的靈活運用，在解題的過程對題目進行適當的變形，可以使解題過程充滿樂趣，也可以提高解題效率。

一、基本不等式中的變形技巧

在利用基本不等式的過程中，要保證“一正、二定、三相等”的條件，所以在解題過程中常常需要對已知條件進行適當的變形使之問題簡化符合條件。

例1：求y=x+（x>1）的最小值。

[分析]：因為x·不為定值，所以需要對x變形，當把x變成x-1時，（x-1）·即為定值。

解：由y=x+=x-1++1≥2+1=3（當且僅當x-1=時取等號），所以y=x+（x>1）的最小值

為3。

例2：已知a>0，b>0且a+b=2，求+的最小值。

[分析]：因為在+的式子中無法變現，所以只能在式子中乘以“1”，其中“1=（a+b）”，所以+就可以變為+·1=+·（a+b）=+++2=++，從而就可以使用基本不等式了。

解：∵+=+·1=+·（a+b）=+++2=++≥+2=

∴+的最小值為。

二、三角函數的變形技巧

三角函數的學習中，往往有關于求值、化簡、證明以及解三角形等問題，都會涉及三角恒等變換以及“1”的靈活運用。能快速掌握三角恒等變換的技巧，不僅能針對三角函數公式的記憶加以幫助，而且還能提高數學的邏輯思維能力，提高數學的綜合能力。下面通過例題來加以說明三角函數的變形技巧。

例1：已知tanθ=2，求下列等式的值；

（1）

（2）

（3）sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ

[分析]：因為已知tanθ的值，故只需要把在（1）（2）中分子分母同時除以cosθ和cos2θ即可，（3）中是整式沒有分母，利用三角函數中“1”的靈活應用，即。

解：（1）====1.

（2）==

==.

（3）sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ=

==

===.

三、函數中的變形技巧

在學習函數的性質中，往往一些條件不滿足，需要我們進一步變形才能夠滿足函數的基本性質：

例題1.已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對任意x1，x2都有<0，若對任意的實數p，f（p-1）+f（p2+m）<0恒成立，求實數m的范圍。

[分析]<0，可以變形理解為f（x）為在R上單調減函數，f（p-1）+f（p2+m）<0可以變形成為抽象函數不等式的

形式。

解：∵f（p-1）+f（p2+m）<0∴f（p-1）<-f（p2+m）。又∵f（x）是奇函數，∴f（p-1）-p2-m恒成立，∴m>-p2-p+1=-p+2+恒成立，∴m>.

例題2.已知函數f（x）對任意的實數x、y都有f（x）+f（y）-1=

f（x+y），且當x>0時，f（x）>1.求證：函數f（x）在R上是增函數。

[分析]：因為抽象函數不知道解析式，所以不能代入求f（x1）-f（x2），但可以借助題目提供的函數性質來確定f（x1）-f（x2）的大小，這時就需要根據解題需要對抽象函數進行賦值。

證明：方法一 設x1，x2是實數集上的任意兩個實數，且x1>x2。令x+y=x1，y=x2則x=x1-x2>0.f（x1）-f（x2）=f（x+y）-f（y）=f（x）+f（y）-1-f（y）=f（x）-1.

∵x>0，∴f（x）>1，∴f（x）-1>0，∴f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）

函數f（x）在R上是增函數。

方法二 設x1>x2，則x1-x2>0，從而f（x1-x2）>1，即f（x1-x2）-1>0。f（x1）=f [x2+（x1-x2）]=f（x2）+f（x1-x2）-1>f（x2）∴f（x）在R上是增

函數。

通過以上幾種題型的變形技巧，我們可以看出數學變形思想是高中數學解題的一種重要的思想方法，如果能巧妙地利用變形技巧，可以使許多難題迎刃而解，化繁為簡，化難為易，變形能力的強與弱，直接影響到考試解題能力的高低，同時也需要學生在實踐中反復練習，以至于能靈活運用。

參考文獻：

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