真的抓住了重力嗎

董含章

摘 要：臺灣一中學實驗組采用多種方法測量重力加速度，并且觀察到了與潮汐同步的重力加速度的現象，這個實驗參加了科學展覽會并且獲得了獎項。潮汐現象是由于月球重力的影響導致的，單擺實驗測量能夠觀測到似乎遙不可及的月球重力的影響嗎？這似乎是一個非常有趣的結果。基于萬有引力的定律探討臺灣某中學重力加速度測量結果，討論用單擺或者凱特擺測量月球重力影響的可能性。

關鍵詞：月球；重力影響；萬有引力；重力加速度；單擺；凱特擺

重力加速度（Gravitational acceleration）是一個物體受重力作用的情況下所具有的加速度。也叫自由落體加速度，用g表示。方向豎直向下，其大小用多種方法可測定。

通常指地面附近物體受地球引力作用在真空中下落的加速度，記為g。為了便于計算，其近似標準值通常為980厘米/秒的二次方或9.8米/秒的二次方。在月球、其他行星或星體表面附近物體的下落加速度，則分別稱月球重力加速度、某行星或星體重力加速度。

眾所周知，單擺是測量重力加速度的簡要方法，單擺實驗廣泛流行于中學普通物理實驗，單擺的擺動周期與擺幅無關，只依賴于擺長和重力加速度，測量周期和擺長就可以計算出重力加速度。基于類似的原理，凱特擺（又稱為復擺）提供了更為精確的測量重力加速度的方法。除了單擺實驗，也可以用測量鐵球墜落的速度變化來直接測量重力加速度，但是方法要繁復得多，也難以達到比較高的精度。臺灣一中學實驗組采用多種方法測量重力加速度，并且觀察到了與潮汐同步的重力加速度的現象，這個實驗參加了科學展覽會并且獲得了獎項。潮汐現象是由于月球重力的影響導致的，單擺實驗測量能夠觀測到似乎遙不可及的月球重力的影響嗎？這似乎是一個非常有趣的結果。如果這是事實，我們足不出戶就可以在實驗室“預測”月亮的位置，天體運行規則在教室里用一個小小的單擺就可以生動展現給學生，這是多么令人驚訝和振奮的事情。

圖1所示是實驗中觀測到的數據，可以明顯看到測量數據隨時間平滑的波動，是不是因為月球重力影響呢？

這個時間波動到底是不是月球的影響呢？原實驗報告與潮汐的比對更清楚。

這真是一個令人驚訝的結果，實驗采用單擺等手段可以測量重力加速度到0.001米/秒2的精度，而從圖1可以看出月球的影響在0.02米/秒2左右，所以用單擺可以觀察到月球運行的影響，文中甚至提出觀察太陽運行位置的影響。

真是這樣嗎？我們可以運用物理定律作一些基本分析計算。引用萬有引力公式，物體所受到的引力表達為：

假定地球上的鐵球質量為M0，地球質量為Me，地球半徑為R。不考慮其他因素，那么我們可以算出鐵球在地表的重量是

F=M0×g=G×Me×M0/R2

其中G是萬有引力常數，被卡文迪許用精密的扭稱實驗首次測量過，也就是得到g=G×Me/R2

查閱準確的萬有引力常數G=6.67384×10-11米3千克-1秒-2，地球質量Me=5.972×1024千克，地球半徑R=6.371×106米。帶入可以算出地球導致的重力加速度為熟知的g=9.863米秒-2。

如果考慮月球的影響呢？假定月球質量是Mm，月球與地球的距離是Rm，明顯月球在實驗測量地點的正上方的時候重力加速度最小，因為月球重力與地球重力方向相反而抵消了一部分地球重力，而月球運行到實驗地點的正下方的時候重力加速度最大，因為月球重力與地球重力方向相同而增大了重力加速度。

很容易由萬有引力公式推算出

gmax=G×[Me/R2+Mm/（Rm+R）2]

gmin=G×[Me/R2-Mm/（Rm-R）2]

容易算出最大的重力加速度和最小的重力加速度的差別是：

gmax-gmin=G×Mm[1/（Rm+R）2+1/（Rm-R）2]

考慮到月球到地球距離是3.84×108米，是地球半徑的大約60倍，月球質量是7.35×1022千克，是地球質量的，所以很容易算出

gmax-gmin=3.31×10-5米秒-2=3.36×10-6g

也就是說月球位置的影響最大只能夠導致百萬分之三左右的重力加速度的影響，大約是普通單擺的精度，假定是0.001米秒-2的百分之三左右。

總結分析結論，用單擺實驗很難觀察到月球運動導致的重力變化，文中所提到的臺灣中學實驗結果值得商榷。即使是用凱特擺測量重力加速度，花費大量時間，測量精度也只有3×10-5米秒-2。因此在普通物理實驗室，很難用測量重力加速度的變化來測量預測月球運動位置或者潮汐變化。

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