帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題分析

摘 要：帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題是最近幾年高考的常考點，同時也是學生分析的難點問題，有關于解決臨界現象的問題就更是比較困難。這種臨界問題就要求學生有較強的分析能力，縝密的邏輯思維能力，較全面的平面幾何知識和復雜問題的分析、物理模型的構建能力，特別對于物理的學困生，更是比較困難。

關鍵詞：帶電粒子；勻強磁場；有界磁場；勻速圓周運動；臨界問題；運動問題

帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題，對于學生而言本身就是難點問題。第一，有界勻強磁場就要確定好磁場的邊界；第二，臨界問題就是極值問題。因此本文就帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題從以下兩種情況進行分類討論。第一種：給定有界的勻強磁場，研究帶電粒子運動的臨界情況；第二種：由根據粒子的運動情況，判斷磁場的邊界。

一、 給定有界的勻強磁場，研究帶電粒子運動的臨界情況

1. 帶正電粒子如果以相同的方向垂直入射勻強磁場，而入射的速度大小可以改變，那么這些粒子的運動軌跡有什么相似之處呢？我們知道，這些帶電粒子以確定的速度方向，不同的速度大小入射時，粒子做勻速圓周運動的軌道半徑不同，速度大的半徑大，但是這些圓的圓心在同一條直線上，并且圓心的連線和速度方向垂直。這些圓逐個逐漸變大，因此也稱之為膨脹圓。

【例1】 如圖所示，一足夠長的矩形區域abcd內充滿方向垂直紙面向里的、磁感應強度為B的勻強磁場，在ad邊中點O方向垂直磁場射入一速度方向跟ad邊夾角θ=30°、大小為v0的帶正電粒子，已知粒子質量為m、電量為q，ab邊足夠長，ad邊長為L，粒子的重力不計。求：

（1）粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍。

（2）如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場中運動的最長時間。

分析：由于帶電粒子進入磁場的初速度方向都是一樣的，大小不一樣，因此圓心都在同一條直線上，根據入射速度大小關系，確定粒子運動的軌道半徑。要保證粒子能夠從ab邊射出，臨界情況是當圓與ab邊相切。隨著粒子速度的增加，半徑變大，利用膨脹圓來確定粒子的邊界。當圓軌道與cd邊相切時打在ab板上的距離最遠。當粒子速度再增加，粒子將從cd板射出，不會再打在ab板上，因此打在ab板上的范圍為AB之間的區域。而對于帶電粒子在磁場中運動時間的計算，我們則根據時間和角度的關系，找出回旋角即可。要求最長時間則要找到最大的回旋角，根據幾何關系，正確畫出臨界狀態下的軌跡。再利用相關的物理知識和數學知識便可處理。

2. 帶電粒子，如果以相同的速度大小，從同一點射入無界的勻強磁場區域，那么這些粒子的運動軌跡有什么相似之處呢？我們根據這些粒子的特點，從不同的方向入射，而入射的速度的大小相同，可以判斷出這些粒子的運動半徑都為R=mv/qB，而且這些圓都是在入射點為圓心的圓上，這種方法也稱為動態圓分析法。

【例2】 如圖，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60T，磁場內有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離L=16cm處，有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知α粒子的電荷與質量之比qm=5.0×17C/kg，現只考慮在圖紙平面中運動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區域的長度。

分析：帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛侖茲力提供向心力可求得粒子的半徑，則根據幾何關系可求得ab上被打中的區域的長度。由于這些帶電粒子的速度大小都是確定的，所以帶電粒子的運動軌跡都是同樣大小的圓，因此可以應用動態圓的方法來解決這類問題。根據運動情況可以判斷這些動態圓在以入射點為圓心，以動態圓的直徑為半徑旋轉，分別與ab的交點和相切點則是粒子在ab區域上的兩個邊界。

3. 如果入射速度大小和方向都變化，那會是什么情況呢？速度方向的改變影響了圓心的確定，速度大小的變化影響了半徑的大小，這種情況下粒子的運動情況就是不確定的，因此對于有這類問題的處理就一定要找準臨界狀態和條件。

【例3】 如圖所示，兩個同心圓為勻強磁場的內外邊界，內半徑為R1，外半徑為R2，磁場方向垂直紙面向里，已知帶正電粒子的電荷為q，質量為m，勻強磁場的磁感應強度為B，帶正電的粒子以某一速度v從內邊界上的A點射入磁場區域。若大量上述粒子從A點沿各個方向射入磁場區域，求所有粒子均不穿出磁場區域外邊界時粒子的最大速度v0。

分析方法：對于這種情況的分析可知，這些帶正電的粒子，以相同的速度大小入射，可以先找出每個速度方向所對應的臨界圓，再對各個臨界圓分析。由于這些粒子的入射點都在A點，而且速度大小、方向也在發生變化，因此粒子運動的軌跡及圓心都在改變。要想保證粒子均不穿出磁場區域外邊界，臨界情況則當粒子剛好與外圓相切，則此時所對應圓的半徑最大，速度則是最大速度。

二、 由根據粒子的運動情況，判斷磁場的邊界

這種類型則是根據粒子在勻強磁場中的運動情況，特別對于臨界問題的分析從而來確定磁場的邊界。

【例4】 一帶電質點，質量為m，電量為+q，重力忽略不計，以速度v與y軸成30°從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域。為了使該質點能從x軸上的b點與ox夾60°角方向射出，可在適當的地方加一垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區域內，求這圓形磁場區域的最小半徑。

分析方法：首先找出勻速圓周運動的圓心，畫出運動軌跡，注意磁場邊界的特點。根據題目意思可以判斷粒子在磁場中做勻速圓周運動，再根據粒子的運動特點可以知道粒子做圓周運動的半徑和速度方向垂直，將兩個速度方向都延長或者反向延長，做出垂線，便可確定粒子做圓周運動的一段軌跡，只要保證這段運動軌跡在有界磁場中即可。但又要保證磁場的面積最小，則需要以此段軌跡對應的弦為直徑的圓面積是最小的，其余的圓的面積都比這個圓的面積大。

學生處理這類帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題，主要存在以下兩方面的困難：一是做圖能力差，畫不出準確的軌跡圖；二是對于題目的處理，難度提升較大。針對這種情況，通過反復的教學實踐，我認為對于學生的這種問題主要從以下幾個方面解決：充分來理解題目意思，根據題意來分析，建立相關的物理模型，有助于對題意的挖掘，特別對于物理的學困生，則更是比較困難。而對于這類問題的分析則要特別注意對動態圓和膨脹圓的分析和應用，這就要求學生具有較為深厚的物理基礎知識和扎實的物理功底。因此在我們的教學中配以計算機加以輔助，使學生能夠有更加直觀的印象和認識，讓學生從最簡單的類型、最基本的模型入手，在此基礎之上變形，更加有助于對知識的學習。

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作者簡介：

孫科，福建省莆田市，莆田哲理中學。endprint