心算形式對不同近似數量系統敏銳度兒童心算表現的影響

宗正　李紅霞　司繼偉

摘要 選取112名二年級小學生，以點陣比較任務測量近似數量系統敏銳度，同時以工作記憶測驗成績為協變量，探究了不同心算形式（視算、讀算）對不同近似數量系統敏銳度兒童心算表現的潛在影響。結果顯示：（1）心算形式顯著影響心算的正確率，讀算形式下兒童的心算表現最好；（2）控制工作記憶影響后，心算形式與近似數量系統敏銳分組均對心算正確率影響顯著。總體來講，讀算可能是提高小學兒童簡單心算表現的有效形式，并能提高低近似數量系統敏銳度兒童的心算表現。

關鍵詞 小學低學段兒童，近似數量系統，工作記憶，心算形式。

分類號 B842

1問題提出

心算（mental arithmetic）是指不借助外界工具的條件下，依靠思維和記憶直接得出答案的計算方式，也是我們通常意義上講的“口算”，是日常活動中一種重要的思維活動（張奇，林崇德，趙冬梅，王秀麗，2002）。心算作為數學運算的一種基本形式，是小學數學教學的重要任務。《九年義務教育全日制小學數學教學大綱》中指出“培養學生的計算能力，要重視基本的口算訓練。口算既是筆算、估算和簡便計算的基礎，也是計算能力的重要組成部分”，要求二年級學生能比較熟練地對兩位數加、減進行心算。小學二年級是學習加減法心算的關鍵時期，目前的教學中卻存在著計算正確率下降、心算速度變慢、簡便運算方法不夠靈活的情況（文玲玲，陳建華，2013）。近年來發現，多樣化的心算形式練習，不僅有助于激發學生的學習興趣，還能提高兒童的心算能力。然而，目前小學中有關心算練習的方式仍較為單一，有關心算練習的具體改進方法也多體現在教學和情境設計等方面。僅從理論上對心算形式的應用進行探討，缺乏實證比較。

早在上世紀70年代，認知心理學便開始將心算作為一個研究主題，探究心算的認知加工機制。之后研究者對心算進行了深入系統研究。一般認為心算涉及三個認知加工環節：編碼、運算和反應（Campbell，2004），將外界呈現的信息進行編碼，然后通過內部的算術知識提取或算術運算得到答案。在編碼階段，信息能以不同的表現形式（例如視覺或聽覺形式）輸入信息通道。具體看來，三重代碼模型（triple code model）認為根據任務性質的不同，信息表征的方式也會存在差異（Dehaene & Cohen，1995）。聽覺的言語編碼通常負責口語方式的信息輸入，而視覺編碼則負責阿拉伯數字形式的信息輸入。編碼復雜性模型也支持信息的表征方式不止一種，不同的表征方式可以同時參與到多種認知過程中（Campbell，1994）。還有研究發現，輸入形式的差異不僅對編碼階段產生影響，對心算的提取過程也存在影響（劉昌，王翠艷，2008）。不同的心算任務呈現方式可以引發個體不同的信息表征，讀算相對于以往教學中常用的視算方式，通過視覺和聽覺兩種表征方式對題目信息進行輸入，可能對題目信息有更充分的加工，從而幫助低年級兒童在簡單心算時獲得更好的心算表現。本研究擬采用小學心算練習中常用的評價標準，準確率和計算時間，探究小學低學段兒童在不同心算形式下的心算表現。

心算通常指對精確數量的運算，而估算與其涉及到一些共同的心理加工活動；二者聯系密切且估算可以增加心算的潛能，幫助心算更好地進行（Rubenstein，1985；Reys，Bestgen，Trafton，& Zawojewski，1984）。ANS敏銳度作為數量估算能力的表現，與數學技能顯著相關（Halberda，Ly，Wilmer，Naiman，& Germine，2012；Pinheiro-Changas et al.，2014）。具體來看，人類出生時就伴有一種用非符號行為表示數目的能力（Feigenson，2011；Izard，Sann，Spelke，& Streri，2009）。這種稱為近似數量系統（approximate number system，ANS；Feigenson，Dehaene，& Spelke，2004）的非符號性數目表示系統被發現與數學技能相關（Gilmore，McCarthy，& Spelke，2010；Halberda，Mazzocco，& Feigenson，2008）。研究表明ANS提供了數字符號與它們所代表的數量之間的聯系基礎，并支持符號數字知識的進一步發展（Geary，2013；van Marle，Chu，Li，& Geary，2014）。當我們涉及到事物的數量而且又不能精確表示時，ANS表征就會被激活并使用。在控制以前的數學技能后，四歲兒童的ANS敏銳度預示了他們六個月后的數學技能（Libertus，Feigenson，& Halberda，2013）。而對8歲兒童數學能力的類似研究也發現ANS敏銳度可以預測其數學成就（Inglis，Attridge，Batchelor，& Gilmore，2011）。相比于低ANS敏銳度兒童，高ANS敏銳度的兒童不僅能更好地辨別非符號數字的大小，將近似數量轉化為精確數量，而且在早期數學學習中對數字符號也具有更好的理解能力，在數學運算中能更好地抑制干擾，因此，估算可能是簡單數字識別和精確計算之間的中間步驟（Pinheiro-Chagas et al.，2014）。總體來看，ANS估算能力在兒童早期數學學習中占有非常重要的地位，而低ANS敏銳度兒童由于符號理解、運算干擾等問題，可能在心算時表現不佳。因此心算形式的探究可能對這個問題有新的啟發，相比傳統的視算，讀算形式能幫助低年級兒童在心算加工時提高注意，并通過視覺和發音兩種方式充分輸入題目信息，這些可能幫助低ANS敏銳度兒童對數字符號進行更充分的加工理解。本研究中采用點陣比較任務，以其正確率作為個體ANS敏銳度的指標，相比其他的ANS敏銳度測量方法具有更好的可行性以及良好的信度（Chesney，Bialkebring，& Peters，2015）。依照正確率進行高、低ANS敏銳度分組，探究不同ANS敏銳度兒童心算表現是否存在差異，以及心算形式對不同ANS敏銳度兒童心算表現可能的影響。

以往研究還發現，心算與工作記憶關系密切。工作記憶指認知活動過程中負責對信息加工和短暫儲存的認知系統（Baddeley，1992）。而心算過程需要在信息加工的同時對另一些相關信息進行短暫儲存。Hitch（1978）曾發現，心算過程中發生的錯誤，常常是因為被試沒有能夠把運算過程的中間結果正確記錄、保存到工作記憶中，即心算過程不僅應記住需要計算的數字，還必須對計算過程中的數字信息加以保持。此外，在進行簡單加減法心算時，工作記憶對心算結果的影響程度仍存在爭議（Logie，Gilhooly，& Wynn，1994；匡華，2008）。為避免工作記憶影響兒童ANS敏銳度與心算表現之間的關系，本研究擬將工作記憶作為協變量控制。本研究針對小學數學教學中亟待尋找有效的、新穎的心算形式的現狀，對不同心算形式的實際效果進行實驗對比，為小學二年級心算教學方式的創新提供支持；并進一步從不同的心算形式的條件下，探究高、低ANS敏銳度（即ANS敏銳組、ANS遲鈍組）兒童心算表現的差異。研究預期：在控制協變量的條件下，（1）不同心算形式顯著影響兒童心算的正確率和反應時，讀算形式能幫助兒童取得更好的心算成績；（2）心算形式對不同ANS敏銳度兒童心算表現的影響存在差異，心算形式與ANS敏銳度分組間有顯著的交互作用。

2方法

2.1被試

從山東省濟寧市某普通小學選取二年級學生129人，剔除未完成點陣比較任務的被試17人，最后獲得有效被試112人。按照前后27%的原則從點陣比較任務得分中篩選出低分組30人（男18人，平均年齡8.06±0.24歲；女12人，平均年齡8.08±0.52歲）和高分組30人（男14人，平均年齡8土0.56歲；女16人，平均年齡8.13±0.55歲），分別作為ANS遲鈍組和ANS敏銳組。實驗結束后，每個被試給予小禮品。

2.2實驗設計

采用2（ANS敏銳度分組：敏銳組、遲鈍組）×2（心算形式：視算、讀算）的兩因素被試間設計。自變量為ANS敏銳度分組、心算形式，因變量為心算的正確率和反應時。工作記憶得分作為協變量。

2.3實驗工具與材料

2.3.1點陣比較任務

參考Halberda等（2008）的研究，采取點陣比較任務測量兒童的ANS敏銳度。通過電腦屏幕呈現出兩個數目不同的黃色點陣，要求被試比較左右兩邊點陣哪邊點數多。首先，在屏幕上呈現1000 ms注視點，之后出現點數圖片，圖片呈現1000ms后消失，由被試進行按鍵選擇，左邊點數多按“S”鍵，右邊點數多按“L”鍵（牛玉柏，時冉冉，曹賢才，2016）。點的數量比率為1：2、2：3、3：4、4：5、5：6、6：7、7：8、8：9、9：10，每種比率點有兩種具體的數字組合，每種比例的一半試次左邊點多，一半試次右邊點多，兩邊點的總表面積相等。共5個練習試次，72個實驗試次。將被試完成任務的正確率作為其點陣比較任務的得分。

2.3.2自動化工作記憶測驗

自動化工作記憶測驗（automated working memory assessment，AWMA）由英國學者Alloway（2007）編制，用于評估4-22歲個體的工作記憶能力。自動化工作記憶測驗共12個分測驗，根據國內已有研究（呂娜，2015；李紅霞，2016）和本研究的目的，選取3個分測驗：數字回憶測驗（digit recall）、點陣圖片測驗（dotmatri）和反向數字回憶測驗（backward digit recall）分別評估兒童的語音環路、視空模板和中央執行成分。AWMA軟件會將各項分測驗中的原始得分轉化標準化后的分數。本實驗中將三個分測驗標準化后分數的總分作為工作記憶得分。三個測驗的信度系數分別為0.84，0.83，0.64。

數字回憶測驗：主試勻速讀出數字，讀完每串數字后由被試口頭回答聽到的數字，每組有4個試次，當4個試次全對時進入下一組，出現錯誤時增加1個試次，最多6個試次，錯誤3次，該分測驗終止。共9組數字，分別從1位數逐漸增加到9位數。每個試次的數字隨機組成，一串數字中沒有重復的數字。被試需聽完主試讀出的完整一串數字再進行反應，不能出現復述或跟讀。正式實驗前呈現1～3個數字的練習試次各一次。

點陣圖片測驗：在4×4的柵格上呈現紅色圓點，每幅圖片上紅點的位置不同，每張圖片呈現2s，需要被試記住每張圖上紅點所在的位置，圖片呈現完成后，要求被試在空白的4×4柵格上依次指出紅點的位置。實驗從一次呈現1張圖片開始，逐漸增多每組連續呈現的圖片數量，最多每組連續呈現7張圖片。每組有4個試次，當4個試次全對時進人下一組，出現錯誤時增加1個試次，最多6個試次，錯誤三次該分測驗終止。在實驗過程中，被試需要看完連續呈現的圖片再進行反應。正式實驗前連續呈現1～2張圖片的練習試次各一次。

反向數字回憶測驗：主試勻速讀出一串數字，被試在不出聲復述前提下，將這串數字反向回憶出來，如主試讀“38”，被試回答“83”。每組有4個試次，當4個試次全對時進入下一組，出現錯誤時增加1個試次，最多6個試次，錯誤三次該分測驗終止。共6組數字，分別從2個數字逐漸增加到7個數字。每個試次由數字隨機組成，一串數字中沒有重復的數字。被試需聽完主試讀出的完整一串數字再進行反應，過程中不能出現復述或跟讀。正式實驗前連續呈現2—3個數字的練習試次各一次。

2.3.3心算測驗

心算測驗根據人教版小學二年級數學教材編制18道兩位數以內的加法題目，題目分為6個難度：整十數加法、整十數和非整十數加法、不進位的非整十數加法、個位數與非整十數的進位加法、個位數進位的加法、個位與十位都進位的加法（匡華，2008）。測驗題目由兩名二年級數學老師根據二年級數學心算要求協助編制完成。題目中較小的數在加號左側，較大的數在加號右側。

2.4實驗程序

實驗時間是在3月下旬到4月初，兩位數心算教學已全部完成。實驗程序共分為3個階段。階段1，篩選被試，在學校計算機教室對被試進行集體施測，采用E-prime程序呈現點陣比較任務，每批被試由4名主試指導進行實驗。依照點陣比較任務正確率進行高低排序，將排序的前、后27%的被試分為高、低ANS敏銳度組；階段2，工作記憶測量，采取個體施測，對篩選出的被試進行AWMA工作記憶測驗；階段3，心算測驗，將篩選出的高、低ANS敏銳度組被試，分別隨機分配到對應的兩種心算形式組中，每組30人。采取個體施測，通過E-prime程序對被試呈現不同形式的心算測驗，由計算機程序隨機排列呈現題目的序列，正式試驗前呈現2道整十數加法題作為練習。

視算任務：采用電腦對被試進行單獨施測，屏幕上每次先出現一個注視點，持續1500 ms后呈現一道加法題，題目呈現時間不限制（匡華，2008）。要求被試在不出聲的前提下心算得出答案向主試口頭匯報，同時按下“J”鍵，按鍵后呈現下一試次。由電腦記錄呈現題目到按下“J”鍵的反應時間。

讀算任務：屏幕上每次先出現一個注視點，持續1500 ms后呈現一道加法題，要求被試在看題的同時出聲讀題并心算得出答案，得出答案時向主試口頭匯報，同時按下鍵盤“J”鍵，按鍵后呈現下一試次。由電腦記錄呈現題目到按下“J”鍵的反應時間。

3結果

3.1兒童ANS敏銳度高低分組的有效性

以被試在點陣比較任務中得出的正確率作為其近似數量系統敏銳度的指標，根據正確率的高低進行排序，得出前27%和后27%的被試作為ANS敏銳組（n=30）和ANS遲鈍組（n=30）。對高低分組的ANS敏銳度進行獨立樣本t檢驗，t（58）=-20.70，p<0.001，高低分組的ANS敏銳度存在顯著差異（M_敏銳組=0.90，SD=0.03；M_遲鈍組=0.65，SD=0.06），分組有效。

3.2心算形式、ANS敏銳度對兒童心算表現的影響

被試在兩種心算形式下的心算正確率和心算反應時及工作記憶得分的描述統計結果見表1。以工作記憶總分作為協變量，心算形式和ANS敏銳度分組為自變量，心算正確率和反應時分別為因變量，進行協方差分析。

以心算正確率為因變量，工作記憶為協變量，經回歸系統同構型檢驗ANS敏銳度分組、心算形式與工作記憶交互作用不顯著，可以進行協方差分析，F（4，57）=0.56，p>0.05。協方差分析結果發現敏銳度分組的主效應顯著，F（1，57）=16.23，p<0.001，η²=0.23，敏銳組正確率（0.98）顯著大于遲鈍組（0.91）；心算形式的主效應顯著，F（1，57）=18.67，p<0.001，η²=0.25，讀算正確率（0.98）顯著大于視算（0.92）。協變量工作記憶的主效應不顯著，F（1，57）=3.64，p>0.05。敏銳度分組與心算形式的交互作用顯著，F（1，55）=8.43，p<0.01，η²=0.13。簡單效應分析發現在視算形式下，不同分組的心算正確率差異顯著，F（1，27）=19.11，p<0.001，η²=0.41；在讀算形式下，不同敏銳度分組間的心算正確率差異不顯著，F（1，27）=0.882，p>0.05。讀算可以幫助ANS遲鈍組的兒童取得更好的心算正確率。

以心算反應時為因變量，工作記憶為協變量，經回歸系統同構型檢驗ANS敏銳度分組、心算形式與工作記憶交互作用不顯著，F（4，55）=0.41，p>0.05。結果表明，敏銳度分組的主效應不顯著，F（1，57）=0.09，p>0.05；心算形式的主效應不顯著，F（1，57）=0.08，p>0.05。協變量主效應不顯著，F（1，57）=1.21，p>0.05。此外，敏銳度分組與心算形式的交互作用不顯著，F（1，55）=0.45，p>0.05。

由上述結果可知，心算形式與敏銳度分組對心算正確率的交互作用顯著，在讀算形式下，遲鈍組被試的正確率與敏銳組無顯著差異，結合主效應的分析，可能說明在小學早期心算教學中，讀算形式不僅可以幫助學生取得更好的心算表現，還能使低ANS敏銳度的兒童獲得更高的心算正確率。

4討論

4.1不同心算形式對心算表現的影響

本研究將被試隨機分配成等人數的兩組，分別采用視、讀算的形式完成一套相同的心算題目。考慮到工作記憶的差異可能會對兒童心算成績產生影響，測得工作記憶總分作為協變量。結果顯示，在控制工作記憶得分的條件下，不同心算形式對心算正確率的影響顯著。心算形式的主效應分析發現讀算形式下心算正確率顯著高于視算，這存在兩種可能解釋：首先，從工作記憶的角度，盡管視算形式下兒童可以很好地利用其工作記憶中的視空模板成分，在心算過程中可以較好保持題目信息與運算過程，但讀算過程相比普通的視算，兒童需要出聲讀題，能更好地利用語音環路保存題目信息，并且在讀題時，為了準確讀出題目，可能也使他們付出比視算更多的注意。其次，編碼復雜性模型可以從另一個角度進行解釋。根據編碼復雜性模型，不同通道的表征可以參與到多種認知過程中，而讀算形式下心算題目通過視覺信息和聽覺信息兩種表征方式輸入，這些輸入的不同表征會影響后續的心算加工（Campbell，2004）。盡管不同心算形式對于心算過程中具體成分的影響還需進一步考察，但從正確率來看，讀算相比于普通的視算，可以幫助低年級小學兒童提高簡單加法心算的正確率。

4.2心算形式、ANS敏銳度分組對心算表現的影響

本研究將點陣比較任務的正確率作為ANS敏銳度的指標，通過排序進行高低分組，在常規的視算形式下，敏銳組取得了更好的心算成績。這支持了已有發現，即點陣比較任務中的正確率能顯著預測符號數字知識（van Opstal & Verguts，2011）且兒童的ANS敏銳度與數學能力呈顯著正相關（Inglis et al.，2011）。進一步比較不同心算形式下敏銳度分組的心算表現，發現不同分組的心算表現會受到心算形式的制約。通過對交互作用的簡單效應分析，在讀算形式下，不同敏銳度分組的心算正確率無顯著差異，遲鈍組兒童達到了和敏銳組兒童相似的高正確率。一般認為，人類對于數字運算具有兩套表征系統，即表征4及4以下數字的精確數量系統和4以上數字的近似數量系統（章雷剛，2007）。ANS估算能力可能是簡單數字識別和精確計算之間的中間步驟，相比高ANS敏銳度，低ANS敏銳度兒童表現出數字符號的理解能力較差，不能較好抑制數學運算中的干擾（Pinheiro-Chagas et al.，2014）。通過研究我們發現，傳統的視算形式下遲鈍組的心算正確率確實顯著低于敏銳組，然而使用讀算后遲鈍組的心算正確率顯著提升，這可能由于相比傳統的視算，讀算形式能幫助低年級兒童在心算加工時提高注意，并通過視覺和發音兩種方式充分輸入題目信息，這些可能幫助低ANS敏銳度兒童對數字符號進行更充分的加工理解。相比視算，兒童在讀算時需要出聲讀題，加強了被試的注意水平。這種前期對于題目信息的充分輸入和加工，可能在一定程度上幫助低ANS敏銳度兒童更好地辨別近似數量的大小并進行更精確的加工，更高的注意水平可能也降低了無關信息的干擾，從而更好地進行數字運算。可以認為，讀算形式不僅可以幫助低年級小學兒童提高兩位數加法的心算表現，獲得更高的正確率，還幫助低ANS敏銳度兒童取得和高ANS敏銳度兒童相似的高心算成績。

4.3實際意義與未來展望

在小學低學段數學學習中，讀算形式可以對兒童的心算學習起到多方面的幫助作用。首先，小學階段的兒童常表現出喜歡思考、思維活躍等特點，但由于年齡較小，解決綜合性問題的能力較為不足，不能獨立理解和完成綜合性的數學問題，而心算練習有助于兒童數學興趣的培養和數學能力的提升。相比于其他的心算形式，讀算可以更好地提高兒童在早期心算練習時的正確率，增強兒童數學學習的自信心和興趣。其次，本研究的結果有助于幫助數學困難兒童，大量研究表明，數學困難兒童的ANS敏銳度顯著低于正常發展的同齡兒童（李紅霞，司繼偉，陳澤建，張堂正，2015）。基于當前教育研究中發現心算形式對兒童心算表現可能存在影響而又缺少實驗支持的背景，結合已有的數學成績與ANS敏銳度、工作記憶與心算表現的研究，本研究以工作記憶為協變量，探究心算形式對不同ANS敏銳度可能存在的影響。實驗設計模仿現實教學中不同心算形式的測驗過程，具有很高的生態效度。對于ANS敏銳度較低的兒童，讀算可能幫助他們彌補ANS敏銳度上的缺陷，縮小與高敏銳度兒童間的心算表現差異。在兒童數學學習中，心算學習將很大程度影響中、高年級計算能力的形成。因此，本研究具有較高的實際意義，為現實教學中常用的心算形式提供了實證證據，證明讀算能幫助兒童取得更好的心算表現，并驗證了不同ANS敏銳度兒童簡單心算表現的差異，且讀算可能幫助低ANS敏銳度兒童取得與高ANS敏銳度兒童相似的成績，避免低ANS敏銳度的兒童在數學學習初期就過早“掉隊”，為其后面的數學學習打下良好基礎。

需要指出的是，本研究也存在一定的局限性。本研究中探究小學二年級兒童的簡單加法心算，將工作記憶作為協變量，而已有研究表明，在復雜心算中工作記憶可能起到更大作用（Logie et al.，1994）。因此可在復雜心算問題中，對工作記憶與心算表現及ANS敏銳度的關系做進一步探究。此外，有關ANS敏銳度的測量任務，正如曹賢才，時冉冉和牛玉柏（2016）發現，當前研究中ANS敏銳度測量任務存在著信效度不足的問題。為使ANS敏銳度的高低分組所得出的結論更具代表性，應對ANS敏銳度測量任務進一步標準化，對于不同年齡的被試確定固定的數量比率和呈現時間。

5結論

本研究得出以下結論：

（1）在控制工作記憶后，心算形式與ANS敏銳分組都顯著影響小學低年級兒童心算的正確率，讀算形式下兒童的心算表現最好，而高ANS敏銳度兒童取得更高的心算正確率；

（2）采用讀算形式時，低ANS敏銳度兒童可以提高心算正確率且達到與高ANS敏銳度兒童相似的表現。讀算可能是提高小學兒童簡單心算表現的有效形式，并且能提高低ANS敏銳度兒童的正確率。