淺談高中數學如何培養學生解決問題的能力

邱水金

培養學生解決數學問題的能力是數學教學的核心問題，數學教學的根本目的是培養學生的數學意識，培養數學知識的自我更新、自我增長能力、創新能力，能夠用數學的眼光看待事物，能夠應用所學的數學知識去解決一些實際問題。

一、解決數學問題能力的組成

1. 審題能力

審題是對題目條件和結論進行全面的認識，對與條件和結論有關的信息進行分析研究，它是分析問題和解決問題的前提。審題能力主要指：（1）充分理解題意，把握題目本質特征；（2）分析和發現題目的隱含條件；（3）化簡、轉化已知和結論的能力；（4）快捷、準確地掌握題目的數形特征。對題目所給的條件和結論進行轉化和發現隱含條件是解決問題至關重要的因素。

2. 綜合應用能力

高中數學知識包括函數、不等式、數列、三角函數、復數、立體幾何、解析幾何等內容；數學思想包括數形結合、函數與方程思想、分類與討論和等價轉化等；數學方法包括待定系數法、換元法、數學歸納法、反證法、配方法等基本方法。只有理解和掌握數學基本知識、思想、方法，才能解決高中數學中的一些基本問題，而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。

例：設C1，C2，…，Cn，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線y= x相切，對每一個正整數n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數列。

（Ⅰ）證明：{rn}為等比數列；

（Ⅱ）設r1=1，求數列{ }的前n項和。

分析：本題考查等比數列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力。

（1）求直線傾斜角的正弦，設Cn的圓心為（λn，0），得λn=2rn，同理得λn+1=2rn+1，結合兩圓相切得圓心距與半徑間的關系，得兩圓半徑之間的關系，即{rn}中rn+1與的關系，證明{rn}為等比數列；（2）利用（1）的結論求{rn}的通項公式，代入數列 ，然后用錯位相減法求和.

對于數列與幾何圖形相結合的問題，通常利用幾何知識，并結合圖形，得出關于數列相鄰項an與an+1之間的關系，然后根據這個遞推關系，結合所求內容變形，得出通項公式或其他所求結論。

3. 數學建模能力

“數學建模”是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育重要的和基本的內容。近幾年來，在高考數學試卷中，都涉及一些實際應用問題，這給學生的分析和解決問題的能力提出了挑戰。而數學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心。

例：（2017年全國1卷）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，D、E、F為元O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是一BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為______。

分析：本小題主要考查折疊問題、等邊三角形的性質、導數等基礎知識，考查數學建模能力、空間想象力、數學閱讀能力及解決實際問題的能力。若學生能找出OG與BC的關系的這個關鍵，再利用體積公式，就不難找出自變量x與BC和DG的關系，從而就能建立數學模型。

在該題的解答中，這是一道較常見數學建模題，但學生若沒有一定的數學建模能力，正確解決此題實屬不易。若能建模，再利用導數這個工具就迎刃而解了。因此，建模能力是分析和解決問題能力不可缺少的一個組成部分。

二、培養學生解決數學問題能力的方法策略

1. 重視基礎知識，建立良好的數學認知結構

引導學生學會審題、解題，是日常教學中最基本也是最重要的一環，是最基本的，也是我們在現實教學中最容易忽視的環節。正如在新課程改革中提出“淡化知識”，于是便又忽略必要的知識傳授一樣。而恰恰相反，只有給學生傳授一定相應的知識，并引導學生掌握審題、解題的基本方法，經過反復訓練，激發潛能，才可以形成能力，使學生的學習興趣獲得保持和發展，達到教是為了不教的教學目的，這正是授之以“漁”的教學策略具體化的體現。在高三的復習中，特別是面對要用到好幾個知識點才能解決的問題時，建立良好的數學認知結構尤為重要。

2. 重視策略化知識，建構不同的知識點

高中數學知識面廣，高考的范圍大。從2017年考綱來看，舊的知識基本不變，新課標以能力立意，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數學素養，如何把數學的思想方法融入到教學中，把不同的知識點有機的結合起來，課程標準指出：數學的發展既有內在的動力，也有外在的動力，在高中數學的教學中，要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系，數學與日常生活的聯系，數學與其他學科的聯系。我們只有在教學過程中不斷地把這些思想和方法，用不同的題目訓練學生，讓學生理解和掌握了數學基本知識、基本思想和基本方法，才能解決高中數學中的一些基本問題，進而能合理地選擇和運用知識、思想和方法，使問題解決得迅速、流暢，才能在高考中占有一席之地。

3. 加強應用題的教學，培養學生從實際問題中概括數學問題

建模能力是解題者對各種能力的綜合應用，它涉及文字理解能力，對實際的熟悉程度，對相關知識的掌握程度，良好的心理素質，創新精神和創造能力，以及觀察、分析、綜合、比較、概括等各種科學思維方法的綜合應用。為此，在應用教學中，師生應組成“共同體”，在老師的點撥指導下，以小組為單位開展建模活動，提高學生獨立工作和相互合作的能力，教師重點在科學的思維方法上給予點撥和總結。讓學生培養善于從實際問題中識別出數學模式，引導學生總結、歸納各種應用題的數學模型，這樣學生才能有的放矢，合理運用數學思想和方法分析解決實際問題。

4. 積極反思，查缺補漏，確保解題的合理性和正確性

解數學題時，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，即學生解數學題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證，引導學生不斷地對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的數學方法、數學思想進行不斷地思考并做出新的判斷，讓學生體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感。長此以往，逐步養成學生獨立思考、積極探究的習慣，這是學好數學的必要條件，更是以后進行分析和解決問題的基礎。

總之，教學實踐是一個復雜的過程，理論是不可能完全應用于實踐中的，這就需要教師在今后的教學實踐中大膽嘗試，細心領會，發現問題，積極尋求解決問題的方法，培養提高學生解決問題的能力。

責任編輯 李少杰