明辨幾何難點(diǎn)，找準(zhǔn)教學(xué)用力點(diǎn)
——以“圓周角（第1課時）”為例

☉江蘇常熟市第一中學(xué) 朱 悅

近來關(guān)注到章建躍博士所作的“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)改革”報(bào)告，章博士在報(bào)告中指出理性思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的靈魂，并認(rèn)為：數(shù)學(xué)的思維方式，追求最大限度的一般性模式，特別是一般性算法的傾向，抽象化，運(yùn)用符號，建立模型，邏輯分析，推理，計(jì)算，不斷地改進(jìn)，推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在更大范圍內(nèi)歸納概括建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男兄行У目茖W(xué)方法.近期在參與一次教學(xué)研究活動中，觀摩了一節(jié)“圓周角（第1課時）”教學(xué)，執(zhí)教老師課前用力很多，制作了精致的教學(xué)課件，使得較多的教學(xué)時間花在課件展示、畫板演示上，評課時得到了較多的標(biāo)簽式溢美之詞.然而，筆者另有所思，本文先梳理該課的前兩個教學(xué)環(huán)節(jié)，并跟進(jìn)反思和商榷意見，供研討交流.

一、教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1：課件演示，引入新知.

PPT出示圖片：圖1是一個圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗弧AB觀看室內(nèi)的海洋動物.

圖2

圖1

圖2是圓柱形的海洋館橫切面的示意圖，弧AB表示圓弧形玻璃窗.同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E.

（1）同學(xué)甲的視角∠AOB的頂點(diǎn)在圓心處，我們稱這樣的角為圓心角.同學(xué)乙的視角∠C、同學(xué)丙的視角∠D和同學(xué)丁的視角∠E不同于圓心角，是與圓有關(guān)的另一類角，我們稱這類角為________.（圓周角，板書課題）

（2）圖2中，∠C、∠D和∠E有什么共同特點(diǎn)？

對照圖形回顧圓心角的定義引出圓周角定義：

定義：頂點(diǎn)在______，并且__________________的角叫作圓周角.

小結(jié)圓周角必須具備兩個特征：（1）頂點(diǎn)在圓周上；（2）角的兩邊都和圓相交.

與圓心角的定義相比較，它們的定義中都提出了角的頂點(diǎn)的位置，但因?yàn)橐詧A內(nèi)任意一點(diǎn)為端點(diǎn)的射線必然與圓相交，因此圓心角的定義中未提與圓相交.但在圓周角的定義中，兩邊與圓相交的條件不能省略.

設(shè)計(jì)意圖：從生活中的實(shí)例入手，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析，抽象出圖形的共同屬性，得出圓周角定義，理解圓周角概念的本質(zhì).

練習(xí)：如圖3，判斷下列5個圖形中的角是不是圓周角，如不是，請說明理由.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：為了使學(xué)生更加容易掌握概念，此處教師并排呈現(xiàn)正例和反例，有利于學(xué)生對本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性進(jìn)行比較.

情境追問：下面我們繼續(xù)研究海洋館的問題，設(shè)想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的位置供你選擇，你認(rèn)為在哪個位置看到的海洋景象范圍更廣一些？

請?jiān)趫D4背靠墻的地方選擇位置畫一個與∠C具有共同特點(diǎn)的角.（教師開始在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行驗(yàn)證.投影演示結(jié)果）

師生確認(rèn)：同弧所對的圓周角有無數(shù)個.

結(jié)論：在同一個圓中，同弧所對的圓周角有_____個.

師：你覺得你選擇的位置與乙、丙、丁三位同學(xué)的位置相比較，誰看到的海洋景象范圍更大？如何比較？

教學(xué)環(huán)節(jié)2：探索并猜想圓周角性質(zhì).

學(xué)生開始動手操作驗(yàn)證：有的借助量角器，用度量的方法進(jìn)行驗(yàn)證；有的采用折疊重合的方法進(jìn)行驗(yàn)證……接下來，教師開始在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行驗(yàn)證，如圖5.

圖4

圖5

發(fā)現(xiàn)：同弧所對圓周角相等.

猜想：在同一個圓中，同弧所對的圓周角________.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、分析、驗(yàn)證、交流等基本教學(xué)活動，探索圓周角的性質(zhì)，感知基本幾何事實(shí)，初步體會兩種數(shù)量關(guān)系：①同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系；②同弧所對的圓周角的關(guān)系.

繼續(xù)用幾何畫板開展演示，如圖6，探討同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系.

圖6

結(jié)論：同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的_______.

根據(jù)度量結(jié)果和觀察結(jié)論猜想：（既然這樣，我們請一位同學(xué)把今天所有發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用文字語言表述一下）

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角_____，并且都等于這條弧所對的圓心角的__________.

設(shè)計(jì)意圖：教師使用幾何畫板做進(jìn)一步演示與驗(yàn)證，用幾何動態(tài)的語言來研究圓周角與圓心角的關(guān)系，在某些量變化的過程中讓學(xué)生觀察不變的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解圓周角與圓心角的關(guān)系.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：證明圓周角定理.

過渡：有句話說“看到的未必是真實(shí)的”，為了更好地說明結(jié)論的正確性，下面我們探究其論證方法.首先，觀察弧AB所對的圓周角，并思考圓心與圓周角有哪幾種位置關(guān)系.

學(xué)生畫圖，教師巡視，在學(xué)生所畫的圖形中發(fā)現(xiàn)圓心與圓周角的三種位置關(guān)系的例子，并在展示臺上演示.限于篇幅，這里略去.

繼續(xù)變換不同的圓周角與圓心的位置關(guān)系.教師演示，并依次歸納出三種位置關(guān)系：

圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上，圓心在圓周角的內(nèi)部，圓心在圓周角的外部.（如圖7～9）.

圖7

圖8

圖9

設(shè)計(jì)意圖：以動態(tài)演示的方式，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解圓心與圓周角的三種位置關(guān)系，為分情況證明圓周角定理奠定基礎(chǔ).此處分類的標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵，教學(xué)中，讓學(xué)生通過合作探究，學(xué)會運(yùn)用分類討論思想研究問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性和深刻性.

在上述三種情況中，你覺得哪個圖形較特殊一點(diǎn)？你能利用該圖來證明剛才我們發(fā)現(xiàn)的同弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系嗎？（學(xué)生再次度量驗(yàn)證）

可以發(fā)現(xiàn)，圓周角的度數(shù)沒有變化.并且圓周角的度數(shù)恰好為同弧所對的圓心角的度數(shù)的一半.下面我們分圓心在角的一邊上、圓心在角的內(nèi)部、圓心在角的外部三種情況進(jìn)行證明.（限于篇幅，略去）

教學(xué)環(huán)節(jié)4：圓周角定理例、習(xí)題訓(xùn)練.（限于篇幅，略去）

教學(xué)環(huán)節(jié)5：課堂小結(jié)與布置作業(yè).（限于篇幅，略去）

二、教學(xué)思考與商榷意見

這節(jié)課的主要亮點(diǎn)在于借助幾何畫板演示發(fā)現(xiàn)圓周角的性質(zhì)（變換位置繼續(xù)探究），在度量確認(rèn)這一性質(zhì)之后，才開始證明性質(zhì)定理.筆者認(rèn)為，這一亮點(diǎn)并不是本課教學(xué)的真正的用力點(diǎn).平面幾何源遠(yuǎn)流長，幾千年前是沒有如今的幾何畫板工具的，從學(xué)科本真來看，怎樣優(yōu)選問題情境背景是教師對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，從本課教學(xué)內(nèi)容來看，如下思考的角度也許可以追求圓周角定理的理解深度.

思考之一：幾何主要研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系.圓周角與相應(yīng)的圓心具有重要的數(shù)量關(guān)系，同弧所對的圓心角只有一個，但所對的圓周角有無數(shù)個，這無數(shù)個圓周角的度數(shù)卻為圓心角的一半！這個性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，無需課件演示，只要學(xué)生畫圖準(zhǔn)確，直觀就能發(fā)現(xiàn)并猜想和證明，開門見山，定義圓周角之后，可直接讓學(xué)生觀察并猜想，然后度量確認(rèn)并理性證明，不需要用動畫或課件演示一個簡單易知的性質(zhì).

思考之二：圓周角定理的證明是難點(diǎn)，主要是引導(dǎo)學(xué)生辨析猜想的題設(shè)與結(jié)論，因?yàn)轭}設(shè)中的同弧所對圓周角的位置不定，所以能否想全不同的位置關(guān)系是教學(xué)難點(diǎn)，在這一教學(xué)難點(diǎn)上值得多花時間、多加引導(dǎo)并進(jìn)行突破，我想，這個環(huán)節(jié)處理得是否恰當(dāng)，需要教師的專業(yè)基本功和深度預(yù)設(shè).那些直接將可能的三種情形畫出來，讓學(xué)生分別證明的做法是低品質(zhì)的做法，達(dá)不到深度教學(xué)的高標(biāo)準(zhǔn).

思考之三：圓周角定理的例題與習(xí)題應(yīng)用，不需要列出一些預(yù)設(shè)的題，只要在黑板上進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹⒓磿r的變式，然后讓學(xué)生參與編題、小組內(nèi)互相求解、大組展示、請其他組的同學(xué)參與解答和互評，也是例、習(xí)題的教學(xué)亮點(diǎn).

思考之四：從目前李庾南老師倡導(dǎo)的“三學(xué)”（學(xué)材再建構(gòu)，學(xué)法三結(jié)合，學(xué)程重生成）來看，學(xué)材再建構(gòu)倡導(dǎo)單元教學(xué)，這節(jié)課可以把例題、習(xí)題教學(xué)部分淡化，而在圓周角定理獲證之后，將圖形位置不斷特殊化，從而得出直徑所對的圓周角為直角；再逆過來提出逆命題思考圓周角為直角時所對的弦是否是直徑，可以在“圓周角（第1課時）”就幫助學(xué)生完善相關(guān)知識體系，也是打破教材束縛的大膽實(shí)踐，教師教學(xué)的專業(yè)自主性也體現(xiàn)在此.當(dāng)然，這需要教師對這部分教學(xué)內(nèi)容更深刻的理解和更高的課堂駕馭.

1.李庾南，祁國斌.自學(xué)·議論·引導(dǎo)：涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要范式［J］.課程·教材·教法，2017（9）.

2.鄭毓信.“問題意識”與數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（5）.

3.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（1）.