基于“課標要求”的“二次函數”課例及分析

☉浙江象山縣石浦中學 李麗君

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中課程內容的教學要求（以下簡稱“課標要求”）是課堂教學活動的指南，也是教學評價的尺度和標準.但在以浙教版《數學》九年級上冊第一章第1節“二次函數”為載體的“多人同課異構”式的研修活動中發現，課堂教學普遍與“課標要求”存在較大偏差.網上查閱同類課例發現也有類似現象.鑒于此，筆者在重復式觀課與反思的基礎上，在浙江省特級教師鄔云德先生的指導下，對該課的教學進行重建與再實踐，改進后的教學得到了同仁認可.現將其整理出來，以饗讀者.

二、教學實錄

環節1：經歷產生并感悟二次函數的過程——明確研究問題.

師：我們知道，現實生活中有許多數量變化關系問題可以轉化為一次函數、反比例函數問題.一次函數、反比例函數夠用嗎？請大家根據下列問題中的條件列出函數關系式.

（1）王師傅存入銀行2萬元，先存一個一年期，一年后將本息轉存為又一個一年期.設年利率均為x，兩年后王師傅共得本息y元.問：y與x之間是怎樣的關系？

（2）n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽.問：比賽的場次m與球隊數n是怎樣的關系？

（3）一個溫室連同外圍通道的矩形平面圖如圖1.這個矩形的周長為120m，設一邊長為xm，種植用地面積為ym2.問：y與x之間是怎樣的關系？

圖1

師：不錯.誰來回答第（3）問？

生3：y=（x-2）（56-x），即y=-x2+58x-112.

師：不錯.列上述函數關系式經歷了哪幾個步驟？

生4：審題→分析→列式.

師：不錯.上述所列的函數是不是一次函數？是不是反比例函數？

生5：它們既不是一次函數，也不是反比例函數.

師：不錯.這說明從實際問題中還可以抽象出新形式的函數.其實，這種函數有豐富情景.例如，函數“y=πx2，y=x2+1”等都是從生活問題中抽象出來的.

師：既然這類函數有豐富的現實情景，就有研究這類函數的必要.這類函數有何特征？有何性質？有何用處？本章就來研究這些問題.（揭示課題）

環節2：參與定義二次函數的活動——形成二次函數的概念.

師：函數y=20000x2+40000x+20000與一次函數、反比例函數、一元二次方程等相比有何特征？

生6：它有兩個變量x、y，且自變量x的最高次數是2.

生7：右邊的代數式是整式.

師：好的.函數“y=20000x2+40000x+20000，m=n2n，y=πx2，y=x2+1，y=-x2+58x-112”有何共同特征？

（約4分鐘后）

師：誰來回答第（1）問？

生1：y=20000（1+x）2，即y=20000x2+40000x+20000.

師：不錯.誰來回答第（2）問？

生8：它們都有兩個變量.

師：不錯.你是從變量的個數角度來歸納.

生9：它們表示自變量的字母的最高次數都是2.

師：好的.你是從表示自變量的字母的次數角度來歸納.

生10：它們右邊的代數式都是整式.

師：不錯！你是從代數式的類型角度來歸納.

生11：它們都不是方程.

師：有道理.你是用方程概念來歸納.

生12：它們都可以表示為y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的形式.

師：非常好！你有較強的符號表示意識.

師：盡管這類函數有多種特征，但其本質特征是它們都可以表示為y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的形式.

師：我們把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）的函數叫作二次函數，并稱a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項.

師：二次函數y=-x2+58x-112的二次項系數、一次項系數、常數項分別是什么？

生13：a=-1，b＝58，c=-112.

師：不錯.二次函數y=πx2呢？

生13：a=π，b＝0，c=0.

師：好的.在y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）中，為什么要規定a≠0？為什么不規定b和c也必須不為0？

生14：若a=0，則它不是二次函數.當a≠0時，就算b=0或c=0，它仍是二次函數.

師：好的.獲得二次函數概念經歷了哪幾個步驟？

生15：根據條件列出函數關系式→觀察所列函數關系式的個體特征→歸納所列函數關系式的共同特征→抽象這類函數關系式的本質特征→定義與表示這類函數.

師：好的.這個思維過程具有普適性，其蘊含的抽象思想、歸納思想、符號表示思想等是數學中的重要思想.二次函數與一元二次方程有何區別？

生16：二次函數刻畫的是變量之間的變化關系，一元二次方程刻畫的是常量之間的相等關系.二次函數的一般形式是y=ax2+bx+c，而一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0.

師：非常好.它們都是描述現實世界數量關系的重要數學模型.

環節3：參與嘗試概念應用的活動——合作解答有代表性的問題.

師：現在請大家解答題1.

題1：如圖2，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分）.設AE=BF=CG=DH=xcm，四邊形EFGH的面積為ycm2.（1）求y關于x的函數表達式和自變量x的取值范圍.（2）當x分別為0.25、0.5、1、1.5、

圖2

1.75時，求對應的四邊形EFGH的面積，并用列表法表示其對應關系（.建議小組成員分工合作）

（約5分鐘后）

師：誰來解答（1）？

生17：y=22-4××x（2-x）=2x2-4x+4，自變量x的取值范圍是：0＜x＜2.

師：即所求函數是：y=2x2-4x+4（0＜x＜2）.

師：確定實際問題自變量取值范圍有何經驗？

生18：既要考慮使函數關系式有意義，還要注意問題的實際意義.

師：不錯.誰來回答（2）？

生19：計算結果如表1：

表1

師：好的.請大家課后思考：表1中的數據有何特點？

師：解決這個問題經歷了哪幾個步驟？

生20：分析→列式→求值.

師：不錯.請大家再解答題2.

題2：已知二次函數y=x2+bx+c，當x=1時，函數值是4；當x=2時，函數值是-5.求這個二次函數的表達式.

（約3分鐘后）

師：誰來陳述解答過程？

生21：解：把x=1、y=4，以及x=2、y=-5分別代入函數解這個方程組，

所求二次函數的表達式是y=x2-12x+15.

師：好的.求這個函數關系式的策略與方法分別是什么？

生22：策略：把函數問題轉化為方程問題.方法：待定系數法.

師：好的.這種轉化的策略和用待定系數法求函數表達式的方法以后會經常用到.

師：要確定二次函數y=ax2+bx+c中的a、b、c，需要幾個條件？

生23：需要3個條件.

師：不錯.由于本題中a=1是已知條件，所以只要2個條件就夠了.

師：題1求函數表達式與題2求函數表達式有何不同？

生24：題1函數類型未知，需要根據題目的條件列函數關系式.題2函數類型已知，可用待定系數法求函數表達式.

師：好的.這兩種題型以后會經常遇到.下面請大家完成課本中的練習題.

（待學生完成任務后教師組織學生交互反饋與評價）.

環節4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結.

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）本節課研究了哪些內容？我們是怎樣研究的？

（2）何謂二次函數？定義二次函數經歷了哪幾個步驟？

（3）二次函數與一元二次方程有何區別？求二次函數表達式有何經驗？

（4）你在學習過程中有何感觸？你認為還應該研究什么？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價.

再次，教師讓學生欣賞二次函數的自述：

Hi！我是二次函數.我可以看成是從現實生活中抽象出來的，又可以看成是從函數概念中演繹出來的，還可以看成是從變量角度看二次整式的結果.我的本質特征是解析式具有y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）的形式.我與一元二次方程的區別是：我刻畫的是變量之間的變化關系，一元二次方程刻畫的是常量之間的相等關系.求我的表達式有兩種題型：一是問題沒有告訴你函數關系是我的類型，你可用列式法求我的表達式；二是問題告訴了你函數關系是我的類型，你可用待定系數法求我的表達式.由于我與一次函數有許多相似之處，所以研究我的內容與方法可與研究一次函數的內容與方法類比.之所以人們喜歡我，是因為我是刻畫現實世界數量變化的重要數學模型.告訴你：在認識我和用我解決實際問題的過程中，能感受到許多蘊含其中的數學思想和積淀許多蘊含其中的數學活動經驗，還能發展你的智力、能力和個性.

三、教學分析

“二次函數”的“課標要求”是“通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義”.這暗示著：產生二次函數要選擇從實際問題中抽象出來的方式.事實上，盡管二次函數可以看成是從實際問題中抽象出來的，也可以看成是數學自身邏輯的產物，但采用從實際問題中抽象出二次函數的方式，更能反映二次函數的數學本質，更有利于學生體會二次函數的意義，也能化解列二次函數關系式的難點.這樣，用于產生二次函數的情境性問題要有代表性，并且問題的情境要有教育價值，以豐富學生的生活常識和體會二次函數也是刻畫現實世界數量變化關系的有效數學模型.盡管課標對二次函數的概念沒有提出具體的教學要求，但浙教版教材將二次函數概念歸于“歸納”層次，并且提出了用待定系數法求二次函數表達式及確定實際問題自變量取值范圍的教學要求，旨在再認待定系數法及積累求自變量取值范圍的數學活動經驗.但目前許多教師對該課的理解與實踐方式與“課標要求”和教材意圖存在偏差：在“產生二次函數”的教學中，有些教師采用“舉一反三”（從單一的情境中通過變式抽象出多個二次函數）的方式；有些教師提供的情境性問題不具有代表性，并且問題的情境不能滿足學生豐富生活常識的需要.這很難達到體會二次函數意義的教學目標.在“定義二次函數”的教學中，大多數教師沒有引導學生經歷“觀察→歸納→抽象→定義→鞏固→反思”的完整過程，導致失去了發展學生能力和個性及感悟其蘊含的數學思想方法的機會.在“嘗試概念應用”的教學中，有些教師選用的載體沒有緊扣“課標要求”；有些教師在解決問題之后沒有引導學生反思（或教師沒有及時追問），導致不能促進學生積累求函數關系式和確定實際問題中自變量取值范圍的思維活動經驗及認識求函數解析式有兩種題型的需要.

本課例根據“課標要求”和教材的意圖，將其教學立意定位于“再認、體驗、鋪墊”，并以有代表性的實際問題為載體（對教材提供的載體作了優化），從學生已有的知識與經驗出發，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，引導學生經歷完整的認知過程.在“產生二次函數”的教學中，既有回顧與提出問題的過程，以激發學生的學習興趣，又有“審題→分析→列式→交流”的過程，以產生具體對象，也有產生具體對象之后的反思與提出問題的過程，以再認列函數表達式的思維過程和明確研究的問題.在“定義二次函數”的教學中，既有“觀察→歸納→抽象→定義→鞏固”的過程，以獲得二次函數概念，又有獲得概念之后的反思，以感悟獲得二次函數概念的思維過程和所蘊含的歸納思想、符號表示思想等及二次函數與一元二次方程的區別.在“嘗試概念應用”的教學中，既有“分析→列式→求解”的過程，以解決給定的求函數表達式問題，又有解決問題之后的反思，以積累求函數表達式和自變量取值范圍的數學活動經驗.這體現了過程教育和以學為中心思想，也遵循了處于歸納層次的概念教學的基本規范.

參與研修的教師普遍認為，本課例雖沒有高深別致的題型，也沒有跌宕起伏的情節，更沒有熱鬧非凡的場面，但教師根據“課標要求”和教材意圖，引導學生經歷了有價值的思維過程，能實現“能根據簡單實際問題的條件列出二次函數表達式，并能體會二次函數的意義；能說出二次函數的一般形式，并會求二次項系數、一次項系數和常數項；會用待定系數法求二次函數表達式和能根據實際問題確定自變量的取值范圍”的教學目標.因此，高效能的教學需要教師研讀“課標要求”和領會教材意圖.一般地，處于歸納層次的概念教學要經歷“用適當的方法提出問題→用適當的方式產生對象→觀察對象的個體特征→歸納對象的共同特征→抽象對象的本質特征→定義與表示對象→反思其蘊含的思維與思想→解決有代表性的問題”的過程，并在認知過程中留給學生自主思考與實踐的時間和合作交流的機會，以體現過程教育和以學為中心思想，促使學生對概念的認識達到一定的“深度”和“寬度”，促使學生學會主動提出問題，獨立思考問題，合作探究問題，以及養成敢于質疑、善于表達、認真傾聽、勇于評價和不斷反思的良好品質和習慣.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.范良火.義務教育教科書·數學（九年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.