離開課件，切線長定理也可以這樣上

☉江蘇海安縣城南實驗中學 劉東升

筆者最近有機會參加一次教研活動，借班上課的前一天獲知執教班級的投影設備出了故障，短時間內修不好，主辦學校領導征詢意見，是否需要調整上課地點.雖然課前已準備好制作精良的PPT課件，但是考慮到該課件中多以展示圖形為教學功能，電腦課件的互動性、動畫功能使用并不多，也為了減少主辦方調整活動日程與地點的麻煩，筆者當即決定不換地點，不使用電腦課件，上一節原生態的“黑板課”.于是，經歷大半夜的深入構思、調整教學設計之后，決定由科代表上臺配合畫圖，通過不斷調整、增添線條生成新的圖形、例題與習題，實現了一節無電腦投影的“黑板課”，教學過程中學生活動豐富多樣、師生對話互動明顯增多，取得了較好的教學效果，受到觀課同行的一致好評.本文記錄該課的教學流程，并跟進闡釋教學立意，供研討.

二、切線長定理教學流程

課前準備：安排班級數學科代表在黑板上先畫出幾個圓（半徑相等的等圓），學生在聽課筆記上也畫出多個圓，以備課堂畫圖活動使用.

【畫圖活動1】畫切線引入新課，揭示課題.

開課導言：同學們，最近一段時間，我們都在學習圓，剛才課前我們已畫出好幾個圓（黑板上也由科代表畫好），前兩天的兩節數學課同學們又在學習什么內容呢？（學生：切線）請一個同學到前面來，在第一個圓上畫出一條切線.如圖1.

圖2

圖1

追問：切線是直線還是線段？（學生：是直線）

繼續畫圖，在這條切線上任取一點P（不與A點重合），過點P你們還能再畫出一條圓的切線嗎？（學生畫出如圖2這樣的圖形）

給出定義：經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長稱為切線長.（在黑板上寫出課題“切線長”）

【畫圖活動2】畫兩條切線，度量、猜想并證明定理.

度量并猜想：對照圖2，教師拿出手頭的刻度尺，在黑板上度量一下學生畫出的兩條切線的長（可能相等，也可能略有誤差），提出猜想：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.

請學生講解證明的思路.

預設：如圖3，學生一般會想到連接半徑OA、OB，并連接PO，進而利用HL證明全等.

圖3

圖4

證明之后，板書定理的文字內容與符號語言.（見板書設計）

順便向學生指出：在切線長定理中，PO平分∠APB可以直接使用，但是PO平分∠BOA不宜直接使用，需要另外推證.

【畫圖活動3】聽句畫圖，例題探究，變式設問.

例題講評，回到圖2，請一個學生到講臺上，準備畫圖，其余學生在座位上畫圖.

例1（教師講清畫圖要求，讓學生在圖2的基礎上繼續畫圖）如圖4，過B點作直徑BC，連接PO、AC.猜想PO、AC的位置關系，并說明理由.

互式講評預設：學生多能猜想出AC∥PO，證明方法也比較多，比如，連接OA，利用外角性質（∠BOA=∠C+∠OAC）可以獲得思路貫通；也可以連接AB，利用BA⊥OP，BA⊥AC，可獲證明.這里安排不同學生講解思路，并寫出證明步驟.

例2（教師講畫圖要求，安排一個學生在黑板上畫圖，其余學生在座位上同步畫圖）過圓O的直徑AB的兩個端點分別畫出圓的兩條切線.

預設圖5.

圖5

圖6

圖7

問題1：這兩條切線有交點嗎？

預設：沒有交點，它們平行.

繼續作圖：在半圓AB上任取一點C，作圓的切線，交前兩條切線于P、Q.

預設圖6.

問題2：求證：PQ=AP+BQ.

問題3：如圖7，連接OP、OQ，求證OP⊥OQ.

設計意圖：通過上述兩個例題，鞏固切線長定理及加深對切線長基本圖形的理解.

例3（仍然回到基礎圖形，如圖2，聽句畫圖）在劣弧AB上任取一點C，過點C作圓的切線，分別交PA、PB于D、E兩點.

學生畫出圖8.

圖8

圖9

問題1：在圖8中，你找到了幾組“切線長”的基本圖形？

問題2：有人說，△PDE的周長是定值？你覺得有道理嗎？為什么？

問題3：連接OD、OE，當∠APB=50°時，求∠DOE的度數.

設計意圖：通過對多組切線長基本圖形進行辨析，訓練新知，并積累一類經典問題（動態變換中出現三角形周長為定值的經典問題）.

【畫圖活動4】畫三條切線，定義內切圓，思考作圖.

由例3出發，在圖8中有三條切線，切點C在劣弧AB上，若切點C在優弧AB上呢？請同學們畫出符合要求的圖形，并標出三條切線的交點.

預設圖9.

預設互動：同學們能在圖9這樣的圖形中找出哪幾段切線長？

給出定義：像圓O這樣，與△DEF三邊均能相切，則稱該圓為三角形的內切圓.

預設追問：同學們想一想，一個三角形的內切圓的圓心有怎樣的性質？它可以怎樣確定？

預設：三角形內切圓的圓心到三角形三邊距離相等，它是三條內角平分線的交點.

繼續定義：我們就稱三角形三條內角平分線的交點為三角形的內心.

對比思考：同學們可以對比三角形的外接圓，梳理三角形的內心、外心的有關性質，并告訴學生，下節課還將對三角形的內切圓進行專題學習.

【課堂小結】

小結問題1：在“切線長基本圖形”中，除了切線長定理能得出的一些結論，你還能得出哪些角、邊之間的相等關系？（提醒：這些等量關系雖然不能直接運用，但是對解題是有幫助的，值得整理、積累）

小結問題2：這節課我們為了節約學習時間，一直都是直接畫圖，同學們思考一下，如果給定一個三角形，你能用尺規作圖作出該三角形的內切圓嗎？說說你們的作圖步驟.

【作業設計】

1.如圖10，過圓O的直徑AB的端點A作直徑的切線PA，過點P再作圓O的另一條切線PC，連接PO、BC.

（1）求證：BC∥PO；

（2）當AB=2BC時，求證OP=AB.

2.如圖7，AP、PQ、BQ分別與圓相切于A、C、B三點，當OP⊥OQ時，判斷AP與BQ的位置關系，并說明理由.

設計意圖：這兩道練習題分別改編自上面例題講評過程中的兩道習題，第1題只是簡單改編了字母，第2題將條件與結論進行了置換，讓學生進行變式探究，以便達到做一題、會一類的效果.

附：板書設計

圖10

圖11

三、教學立意的進一步闡釋

1.重視畫圖能力，幾何教學的用力所在.

研習傅種孫先生《平面幾何教本》可以發現，該書中有相當篇幅的幾何命題都是沒有圖形的，多為文字命題及證明，需要研習者根據文字信息將命題的題設與結論辨明想清，然后畫出圖形，以符號語言的方式進行推理證明.然而現在教材上對幾何文字命題的要求有所弱化，在各級考試（特別是各地中考試卷）中，也少見文字命題的證明，而我們的教學經驗表明，相當多的學生在幾何學習過程中表現出來的困難，多是因為不能準確畫出圖形，辨明已知與未知，從而影響解題進程.基于上述思考，我們在構思切線長定理教學時，選擇放棄電腦課件的演示，從開課階段就安排學生回顧切線的畫法，接著讓學生聽老師的畫圖要求畫出切線長的基本圖形，后來又在切線長基本圖形中通過添加切線或其他線條，生成例、習題進行訓練，整節課十分重視學生畫圖能力的訓練.學生聽句畫圖，生成概念、探究性質、變式訓練，在畫圖過程中，學生發生圖形錯誤或圖形不夠精準時，相機追問或讓學生互評進行糾錯，實施“化錯教學”（小學數學著名特級教師華應龍老師倡導的“化錯教學”，“化錯”是指把課堂教學中的差錯融化為一種教學資源，相機融入后續的教學過程中，化錯誤為正確，“化腐朽為神奇”，變“事故”為“故事”）.當學生在畫圖出現偏差時，我們可引導其他學生參加評價，追問：“他畫的圖正確嗎？如果不正確，錯在哪兒？你們認為應該怎樣調整？”當學生畫出的圖形誤差很大（不精準）時，追問學生：“你們覺得他畫的圖為什么不準？是對畫圖要求中的哪一點‘執行’不到位？”“你會幫助他訂正嗎？”這樣重視畫圖能力的訓練，不但有利于新知的探究、難題思路的獲取，也讓學生感受到幾何追求嚴謹、規范、求真、精益求精.

2.構思一圖一課，追求教學流程簡約化.

近年來，我們在《中學數學（下）》見到不少推介“一題一課”或“一圖一課”的課例研究，深受啟發，筆者也十分贊賞這類課例的教學立意與苦心經營.在構思切線長定理教學時，我們在開課階段由學生聽句畫圖，得出切線長基本圖形（如圖2）之后，把這個圖形作為這節課的一個基本圖形，在不同教學環節都從這個基本圖形出發，特別是后續例題講評、習題訓練、課后作業的布置，都由基本圖形出發，生成新的問題，使得問題的探究富含變化、層層深入.同時，由于始終都從基本圖形出發，使得整節課教學環節簡約緊湊，避免了學生頻繁在不同問題情境中轉換.在這里，我們不得不提出一種值得商榷的教學現狀：例題教學或習題課上，師生拿著一份“習題單”式的導學案，一題接著一題講，一些理解能力偏弱的學生，常常前一題的題目還沒有看完，完全不知所云，老師已進入下一題.如果我們能夠在課堂教學中，圍繞一個經典問題或一個基本圖形，變式探究，通過一個母題或一個基本圖形生長出系列問題、題組進行訓練，也是課堂走向簡約、追求深度的一種積極嘗試.值得一提的是，在本課的結課階段，我們由圖9定義了三角形的內切圓之后，引導學生“逆過來”思考，如何利用尺規作圖作出三角形的內切圓，并將其作為學生課后繼續思考的問題，一方面是由于課堂教學時間的限制，另一方面也為下一課時繼續專題研究三角形的內切圓提供了一個新課知識的生長點.順便指出，這種“生長式”課堂小結也是著名特級教師李庾南老師的課堂小結的教學特點.

四、寫在后面

隨著電化教學設備的普及，很多數學課堂中投影設備逐漸取代了黑板功能，有些數學課（特別是設計精致的公開課）基本上都是課件從前到后、一屏接一屏，傳統的黑板板演的慢節奏被“高效”的PPT動畫取代，然而學生的思維往往不能同步跟進，在“一閃而過”的“一幕幕”動畫之后，學生貌似聽得入神，看得饒有興致，但是對數學概念的理解如何？對例題思路的貫通掌握幾分？想及于此，就很感謝這次執教班級投影設備的故障，既促使筆者調整了教學計劃，讓這節切線長定理的新授課回歸傳統，回歸本真；同時也引發筆者對很多經典課中教學課件使用的必要性進行了深入思考，我們也期待更多回歸本真的課例實踐與分享.

1.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學出版社，1982.

2.華應龍.華應龍與化錯教學［M］.北京：北京師范大學出版社，2015.

3.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習題課設計［J］.中學數學（下），2016（9）.

4.朱國生.反思考題難點，預設“一題一課”——以2016年江蘇南通中考卷第28題為例［J］.中學數學（下），2016（9）.

5.劉東升.承前啟后：一種“生長式”的課題小結——以李庾南老師的課例為例［J］.中學數學教學參考（中），2014（11）.