逐步分析在數學教學中的實踐與思考

☉江蘇省蘇州市常熟市支塘鎮王淦昌中學 王利亞

數學解題重在對問題的轉換，即將其充要條件逐步通過分析轉化出來，這正是數學解題的基本之道.波利亞在如何解題中談道：數學問題的求解過程，正是一個不斷轉化的過程，將難懂的、抽象的條件，用更為簡捷的形態轉述，這就是解題.試想，這段話明確點明了解題的經歷過程，不正是等價形態的呈現嘛.

逐步轉化是針對中學生提出的一個問題解決的形式，即以中學生現有的知識體系為根本，以教師引導下的學生探索為切入口，采用分解步驟的方式，逐步引導學生思考問題為什么這么做.這與以往教師不顧學生思維所處的狀態，一味地采用一題多解、一題多變，以超大訓練替代學生的思考不同，逐步分析的方式恰恰是以學生最近發展區為認知根本出發，以便獲得較好的“思維臺階”，一步一步地解決問題.筆者不否認以往教學方式的優點，但是只有從學生思維出發，逐步做好適合學生發展的教學環節，才是真正符合學生學習心理的發展，有助于其學習能力的提高.

一、為什么要逐步分析

我們知道，學生對于困難問題的思考往往局限在一定的框架內，即直觀思考.大量的調查研究表明，學生在解決數學難題時，一般僅僅觀察到的就是問題的第一表象，這種表象讓學生僅僅圍繞在問題的表面進行思考，其對于知識的整體掌握能力的弱化，導致其不知道怎么去分析難題，不如看幾個問題，思考為什么要在教師引導下進行逐步分析.

（1）組成銳角三角形；（2）組成直角三角形；（3）組成鈍角三角形；（4）在同一條直線上.

分析1：本題是以向量數量積為背景的一道試題，學生的思考是非常直觀的從數量積角度思考，即|AB|·|BC|（-cosB），但是學生在數量積直接展開后就基本陷入思考的停頓，說明其分析問題的能力較為欠缺.如何進一步幫助學生解決問題呢？教師引導學生進行問題的逐步分析.既然走到了“死胡同”，教師不妨引導學生反向思考：若三角形是直角三角形，則顯然數量積應該是0，則顯然不合，故舍去；若三角形為鈍角三角形，則數量積的數值必定是有負值存在的，顯然不合，舍去；最后再思考，若存在三點共線，則必定數量積存在負值，因此只可能是銳角三角形.從反向的思考中，一步一步地解決了問題，也間接幫助學生理解再遇到處理瓶頸時，如何多角度、轉換思維去思考，體現了為什么要逐步分析問題的能力.

分析2：引導學生思考，在得到數量積展開式之后，可以怎么思考？觀察數量積的形態，學生想一想能與哪些知識銜接起來？總體而言，在有邊長和有角度的代數式中，學生自然能分析到可能和正余弦定理緊密相關.得-a·bcosC=3t，-b·ccosA=4t，-c·acosB=5t，即a2+b2-c2=-6t，b2+c2-a2=-8t，a2+c2-b2=-10t，解得a2=-8t，b2=-7t，c2=-9t，其中t＜0，由余弦定理得cosC＜0，即這三點組成銳角三角形.

分析3：學生在數量積展開到達一定“死胡同”時，教師引導學生思考如何降解這個數量積的運算？顯然，數量積是向量和差的更高級運算，將高級運算重新轉化為低級運算，是否可行？教師可以從這一角度與整合這個思路：分別令以下同解析2.相比第二種方式，其運算量大大降低了，并與余弦定理結合解決問題.這樣的逐步分析，正是將問題的處理簡化了不少.

分析4：上述的分析都是從邊的角度思考，若能引導學生逐步從角度的方向分析，也是一個不錯的選擇.不妨從更高的思考角度，即以數量積、角度之間尋求新的聯系.引導學生思考與數量積公式類似的是三角形面積公式，尋求廣泛分析過程.由于

意圖：逐步分析恰恰是在學生分析困難的前提下提出的，為什么要逐步分析？正是因為學生的問題解決陷入了困擾，教師在此基礎上引導其一步一步思考為什么要這么走下去？筆者認為，這樣的分析是有意義的，對于學生的思考是有幫助的，思維的提煉是有意義的.

二、如何實現逐步分析

在引導學生明白困難的問題是一步一步解決的思路之后，要進一步引導其思考如何實現這一逐步分析的過程呢？在學習之初自然有教師的引導，但是隨著學習的深入，要不斷總結學習經驗、積累解題心得，才能獲得自我能力的提升.具體如何實現學生自我的解題逐步分析呢？筆者認為可以分三步實現：第一，學生自身對于基本知識和基本技能的熟練掌握，離開了基本知識的解題是寸步難行的，你不懂“不等式放縮技巧數十種”沒關系，但是你必須要知道基本不等式的運用、各種不等式的基本解法等等；第二，學生需要對知識有整合的積累，比如，求問題（x-cosα）2+（2x-sinα）2的最小值，學生需要思考的問題：此題其實整合了兩點間的距離公式、消參法后的直線上動點與圓上動點之間的距離的最小值，試想沒有知識的整合是難以到位的；第三，學生需要數學思想的幫助，有些問題離開了數學思想解決起來是非常吃力的.筆者認為，三者的結合可以幫助我們實現對問題的逐步分析.

問題2：若實數x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為_______.

分析1：求解本題的難點是如何去掉絕對值符號.首先我們發現當x2+y2≤1時，6-x-3y≥0，所以F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，為了求F的最小值，我們可以按2x+y-2＞0與2x+y-2≤0，把問題轉化為約束條件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.如圖1，直線l：2x+y-2=0將單位圓面x2+y2≤1分為兩部分：

圖1

（1）當2x+y-2＞0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即問題轉化為求目標函數z=x-2y+4在陰影區域及其邊界的最小值，由線性規劃知識可求得F＞3；

（2） 當2x+y-2≤0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=-3x-4y+8，即問題轉化為求目標函數z=-3x-4y+8在直線l下方與單位圓面所圍區域（包括邊界）的最小值，由線性規劃知識可求得F在點A）時取得最小值3.

圖2

分析2：二元變量x，y滿足關系式x2+y2≤1，其幾何意義非常的明顯，即點（x，y）在以x2+y2=1為邊界的圓及其內部的圓面上，而可分別看成點（x，y）到直線l1：2x+y-2=0，l2：x+3y-6=0的距離.因此，從解析幾何的角度我們可以得到如下的解法.如圖2，直線l1，l的斜率分別為-2，-，兩直線間的夾角記為θ，則tanθ=

（未完，）

意圖：綜合問題的解決，我們不難發現要介入筆者開始所述的整合思想，本題如何實現逐步分析？分析1告訴我們，首先絕對值問題的自然思路是分類討論思想的介入，因此將目標函數進行分類討論，進而利用線性規劃基本知識即可解決；分析2是從數形結合思想中的以數解形出發，思考絕對值可以從點到直線的距離入手，這樣的分析較為有新意，自然獲得了一定的創新.有興趣的讀者還可以從絕對值三角不等式的意義出發，進一步思考這樣的問題.

總之，逐步分析轉化是問題解決的必經過程，本文從為什么要逐步分析、如何逐步分析的視角進行了淺顯的分析.數學解題重在分析、轉化，將這一過程傳授到位，才是真正幫助學生度過了解好數學題這一關，培養學生的解題意識、提高其基本知識基本技能的使用能力、注重知識的綜合度、關注思想的滲透等等都是有效的手段，值得教師在教學中不斷滲透、不斷提煉.

1.波利亞.數學與猜想［M］.科學出版社，1984.

2.吳志雄.培養高中生數學應用意識的策略與思考［J］.中學數學研究，2010，5.

3.張惠良.提出數學猜想的一些途徑［J］.數學教學研究，2005，3.

4.楊建輝.新課程標準下教師解題設計應具備的幾種意識［J］.數學通報，2011，2.