數形結合方法在高中數學教學中的應用

☉江蘇省錫東高級中學 蔡曉紅

數形結合方法是數學思想方法之一，它將“數”與“形”有機地聯系到一起，實現了以數助形，以形助數.從某種角度來講，數是形的抽象概括，形是數的直觀表現，而對于數學知識來講，無論“數”還是“形”都是呈現的方式，領會運用“數”、“形”能夠降低數學的難度，提高學生的學習效率和質量.因此，筆者結合多年的教學實踐經驗，概述了數形結合方法在高中數學教學中的應用原則，并從定義、性質及同角這三個方面，探究了數形結合方法在三角函數中的應用，以期數學結合方法能夠科學、合理地運用到數學中，使學生掌握靈活運用數形結合方法的技巧，提高學生的解題效率和正確率.

一、數形結合方法在高中數學教學中的應用原則

數形結合思想既是一種解題思想，又是一種解題方法.在數學教學中，數形結合思想是指，通過數量關系轉化為空間圖像、空間圖像轉化為數量關系，實現“數”、“形”兩者結合的解題思想和方法.通過研讀高中教科書發現，教材中擁有大量、復雜的空間圖像問題和數量關系問題，而在解決問題的過程中，教師如若能夠潛移默化地將“數形結合方法”滲透其中，既能夠降低學生“學”和教師“教”的難度，還能夠提高學生“學”和教師“教”的效率.可見，數形結合方法運用到高中數學教學中具有必要性.而數形結合方法應用于高中數學教學中，不要盲目實施，而是要尊重等價性和雙向性原則，否則會適得其反.

等價性原則主要是指在“數”與“形”轉化的過程中，要確保“數”與“形”的對等.實踐證明，數形結合方法確實能夠降低某些問題的難度，激發學生解題的積極性，提高學生解題的效率和正確率，但是如若“數”與“形”轉化不等價，就定然不會獲取正確的答案.

雙向性原則就是指在分析數量關系和空間圖像的過程中，實現“數”與“形”的優勢結合.如在求取函數最值問題時，就要將函數圖像與“數”進行整合，這樣以來，通過觀察圖像，就能夠輕易獲取正確的答案，若數形結合方法未遵循“雙向性原則”，解題過程可能會出現各種問題，進而與正確答案失之交臂，而“數”與“形”的轉化也失去了應有的意義.

二、數形結合方法在三角函數教學中的應用實踐

數形結合方法是數學教學中常用的解題思路和方法，實踐證明，科學合理地運用數形結合方法，不僅能夠提高課堂的教學質量和效率，還能夠強化學生對于數學知識的理解，促使學生完成知識內化.而三角函數作為高中數學的重要組成部分，它具有抽象性、難度大等特點，導致學生學習的興趣不高，導致課堂的教學效果不甚理想.結合三角函數相關知識的特征，筆者在日常的教學中，采用了數形結合方法，取得了理想的教學效果.

1.數形結合方法在三角函數定義教學中的應用

從定義來看，三角函數就是數形結合的產物，因此在定義教學中，教師應該合理地運用“數形結合方法”，強化學生對于三角函數定義的理解，從而提高學生運用“定義”解決問題的能力.結合學生解決問題的過程可以發現，定義求解一般運用“取點法”和“單位圓”的方法，而相比較而言，單位圓的方法更為簡便，且解題的速度更快.

分析：由已知條件可知，解決此問題可以通過“取點法”、“單位圓”兩種方法進行解題.

表1 的正弦值、余弦值、正切值的解決方法及過程

表1 的正弦值、余弦值、正切值的解決方法及過程

方法一取點法 方法二單位圓y y A圖O 60° x x M O 30°P（1，y）P（x，y）解（略） （略）將角5π 將角5π 3放置到直角坐標系xOy中，并換一個單位圓，而角5π 3的正弦值、余弦值及正切值.3的正弦值、余弦值及正切值.備注 兩種方法都運用了數形結合法，但比較而言，單位圓較為簡潔，僅僅需要知道點P的橫坐標就可以得到答案評注3放置到直角坐標系xOy中，并在角的邊上取點P，并從點P向Ox的正方向引垂線PA，構建直角△PAO.通過點P的坐標可以得出Rt△PAO的各個邊長，然后結合定義，就可以得出角5π 3的終邊與單位圓的交點為P，并由點P向x軸引垂線PM.結合三角函數在單位圓里的特殊性質，輕松、便捷地就可以得到角5π

2.數形結合方法在三角函數性質教學中的應用

大多數學生對于三角函數的性質都較為了解，但是在具體的問題中，并不能夠靈活地運用，進而導致問題的解決過程不夠順利，甚至得不到正確的答案.性質是解決三角函數相關問題的重要著手點之一，但是要想合理地運用，就需要能夠靈活地運用“數形結合方法”.因此，作為一線的教育工作者，在日常的教學實踐中，要將數形結合方法滲透到三角函數性質教學中，使學生準確把握“數”和“形”兩者之間的關系，能夠降低問題的難度，提高學生解題的正確率和效率.三角函數性質往往被運用到不等式、不等式方程及比較大小等問題中，如若能夠將具體問題轉化成為圖形，再結合性質，就能夠輕松地解決問題.

分析：單從已知條件根本找不到著手點，若了解三角函數的性質，可以將其構建出“形”，認真觀察，就可以得出答案.首先，根據已知條件，構建關于未知數x的函數f（x）=sinx；然后，在直角坐標系xOy中畫出函數f（x）=sinx的圖像（圖1）；最后，結合題意和三角函數的性質，得出滿足（k∈Z）.

圖1 函數f（x）=sinx的圖像

評注：將問題轉化為求“角”的問題，也要運用到“數形結合方法”，它利用了正弦圖像和代數式結合的方法.針對該題目，不僅要掌握三角函數的性質，還要能夠完成構建函數的環節，并將函數圖像呈現于大腦中，甚至于紙張上.這樣，降低了題目的難度，還有助于拓展學生的思維.在此需要注意的就是，該題目解決的方法并僅有這一種，還有“單位圓”的方法，此文中就不詳細闡述.

3.數形結合方法在同角三角函數關系教學中的應用

同角三角函數的關系是三角函數教學的重要內容之一，而通過研讀數學教材發現，同角三角函數關系可以從“數”和“形”兩個角度進行理解和掌握.同角三角函數關系有平方關系（表2）和商數關系（表2），無論是平方關系還是商數關系都可以從“數”和“形”兩個角度進行推導.在實踐的應用中，大多數學生不能夠靈活地運用三角函數的平方關系和商數關系，歸根究底就是因為學生未曾真正掌握同角三角函數的關系，導致在實際問題中，不能夠完成遷移，進而導致出現各種問題，長此以往，會降低學生學習數學的興趣和欲望.

表2 同角（α）三角函數關系

圖2 tanα=-的圖像

解：由定義和圖得知，點P的坐標為（4，-3），|OP|=5，所以

評注：利用已知條件畫出對應圖像，然后結合定義，就能夠直觀地將結果呈現于腦海中，這樣不僅避免了繁雜的代數運算，還提高了學生的解題效率，更能夠避免由于細心答疑，而出現“漏符號”的情況.

三、結束語

高中階段，數學學科中涉及大量的空間圖像、數量關系及數形結合的問題，而這些問題的難度并不大，關鍵就是學生能夠正確地運用“數形結合方法”.但是，由于受到各種因素的影響，部分學生對于“數形結合方法”的運用并不能夠滿足當前解題的需求，所以作為一線的教育工作者，要認識到數形結合方法的重要性，并將其滲透到數學教學過程中，使學生“數”、“形”轉化以及“數”、“形”結合的能力得到鍛煉和培養，從而能夠從容面對相關問題，促使學生的解題效率和正確率得到提高.除此之外，還應該讓學生認識到，數形結合方法并不是萬能的，不能夠盲目運用，否則會適得其反.F