2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷壓軸題的研究與反思

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 吳潔瑩

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 徐章韜

一、試題再現(xiàn)

題目已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

這道試題是2017年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理科卷的21題.考查的內(nèi)容是函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)的知識(shí)，這些知識(shí)是學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中已經(jīng)非常熟練掌握的.求解這道試題的思路，學(xué)生也已基本掌握，關(guān)鍵就在于計(jì)算能力與轉(zhuǎn)換思維.

二、試題分析

1.第（1）問(wèn)的分析

第（1）問(wèn)是對(duì)含參數(shù)的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性.這樣簡(jiǎn)單的函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)沒(méi)有難度.導(dǎo)數(shù)f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1，要判斷函數(shù)單調(diào)性即要判斷f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1的符號(hào)正負(fù)，一般情況下先令導(dǎo)數(shù)為0.此時(shí)，對(duì)于基礎(chǔ)一般的學(xué)生來(lái)說(shuō)，求解極值點(diǎn)會(huì)比較困難，他們難發(fā)現(xiàn)可將ex當(dāng)作整體，將原導(dǎo)函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為f′（x）=2a（ex）2+（a-2）ex-1，導(dǎo)數(shù)為0時(shí)這是一個(gè)關(guān)于ex的一元二次方程，即f′（x）=2a（ex）2+（a-2）ex-1=（2ex+1）（aex-1）=0.當(dāng)a≤0時(shí)，方程無(wú)解，f′（x）＜0；當(dāng)a＞

綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）

第（1）問(wèn)學(xué)生的解答難點(diǎn)在于對(duì)導(dǎo)函數(shù)形式轉(zhuǎn)換以及對(duì)參數(shù)a的分類討論，若能將導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解，之后對(duì)參數(shù)a的分類討論也將不再是難點(diǎn).在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)單二次函數(shù)的因式分解不是問(wèn)題，然而高考數(shù)學(xué)壓軸題的考查總是源于教材又高于教材.經(jīng)筆者對(duì)歷年高考題和各省市近幾年函數(shù)壓軸題的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，一般函數(shù)的壓軸題第一問(wèn)都是判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)含參有時(shí)不含參，但不論是怎樣的單調(diào)性分析，大部分都要考查學(xué)生對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行因式分解的能力（也可稱為運(yùn)算能力），進(jìn)而判斷函數(shù)單調(diào)性.對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行因式分解在高考中已經(jīng)是不可缺少的能力.

2.第（2）問(wèn)的分析

在已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求參數(shù)a的取值范圍.求解這一問(wèn)一般有兩個(gè)思路，思路1：利用函數(shù)圖形判斷函數(shù)零點(diǎn)；思路2：轉(zhuǎn)化函數(shù).下文將從這兩個(gè)思路對(duì)此試題進(jìn)行分析.

思路1分析：由第（1）問(wèn)中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判斷，可畫出函數(shù)圖形，判斷在哪種情況下函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).顯然，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故a≤0不成立；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖，如圖1.

圖1

圖2

（f-1）=ae2x-1+（a-2）e-1-（-1）=，故可

思路2分析：函數(shù)（fx）=ae2x+（a-2）ex-x有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)a的參數(shù)范圍.這個(gè)思路也很明顯，學(xué)生能快速想到，直接令（fx）=0，則a=，得到a關(guān)于x的方程，由于（fx）=0有兩個(gè)解，不妨設(shè)這兩個(gè)解分別為x1，x2，其中x1＜.接下來(lái)就

可以從幾個(gè)角度去分析參數(shù)a的參數(shù)范圍.

圖3

由圖像明顯可以看出，0＜a＜1.

從角度1分析，這也是學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中已經(jīng)練習(xí)過(guò)的內(nèi)容，分離參數(shù)，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即是原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，學(xué)生處理的難點(diǎn)在于分離參數(shù)的過(guò)程及對(duì)參數(shù)方程的單調(diào)性判斷，這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)具有一定的難度，判斷單調(diào)性需要學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力與觀察能力.

角度2：利用放縮法，先猜后證.

①式-②式得a（ex1-ex2）（ex1+ex2+1）=x1-x2+2（ex1-ex2），所為函數(shù)y=ex上兩點(diǎn)斜率的導(dǎo)數(shù)且恒大于0，故當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)a＞0.接下來(lái)要討論的就是當(dāng)制.一般想法是通過(guò)x1，x2的限制，利用不等式知識(shí)求解a的取值范圍，但x1，x2之間到底具有怎樣的關(guān)系還不明確.此時(shí)考慮當(dāng)x→0時(shí)，a→1；當(dāng)x→+∞時(shí)，a→0，故可猜測(cè)a＜1.由泰勒展開(kāi)式

從角度2分析，前半部分函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得到①、②兩式，基本都能想到，甚至判斷出a＞0也比較簡(jiǎn)單.關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn)在于不等式知識(shí)在此方法中的運(yùn)算，并且需要有一定的邏輯推理能力，在壓軸題中考查的數(shù)學(xué)基本能力是學(xué)生在平時(shí)練習(xí)需要?dú)w納總結(jié)的.

三、教學(xué)反思

上文中對(duì)該試題的兩問(wèn)進(jìn)行了詳細(xì)的分析，指出了易錯(cuò)點(diǎn)與難點(diǎn)，且對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行了多角度的分析.這都是教師在教學(xué)、學(xué)生在復(fù)習(xí)中應(yīng)該高度重視的問(wèn)題，從而改進(jìn)教學(xué)與學(xué)習(xí)方法.

1.基本方法的運(yùn)用要著眼于對(duì)此概念的深度理解

在該試題的第（1）問(wèn)中，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)與難點(diǎn)：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)之后判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào).導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1，直接令f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1＞0（＜0），求x的取值范圍，一般學(xué)生都會(huì)手足無(wú)措，這一道題基本上也無(wú)望得分.這種問(wèn)題的出現(xiàn)從表現(xiàn)上看是學(xué)生的計(jì)算能力弱，其實(shí)不然，關(guān)鍵還在于學(xué)生對(duì)二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)概念的理解.基礎(chǔ)稍好的學(xué)生能夠?qū)′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1看作關(guān)于ex的二次函數(shù)，接下來(lái)令導(dǎo)數(shù)為0，利用求根方程，討論a的符號(hào)，判斷單調(diào)性，這是一種基礎(chǔ)可行的方法，但是過(guò)于復(fù)雜，計(jì)算過(guò)程容易出錯(cuò).若能觀察出導(dǎo)函數(shù)可用因式分解的方法轉(zhuǎn)化為f′（x）=（2ex+1）（aex-1），這一問(wèn)就能大獲圓滿.這種將復(fù)雜因式進(jìn)行分解的能力在很多高考試題中都考查過(guò)，因式分解簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，學(xué)生在初中就學(xué)過(guò)這樣的方法，然而在高中這種方法還是不會(huì)用，這就說(shuō)明基本概念滲透不深刻.

試題第（2）問(wèn)的思路一考查的是數(shù)形結(jié)合的方法，只要能根據(jù)第（1）問(wèn)畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖，第（2）問(wèn)基本上也能解決.學(xué)生出錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的必要條件不清楚，在人教版選修1-1中就出現(xiàn)過(guò)這樣的類似問(wèn)題.在掌握數(shù)形結(jié)合的方法下，深度挖掘函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，這也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念.

試題第（2）問(wèn)的思路2分析中的角度1需要學(xué)生掌握的是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即方程有兩個(gè)根.利用方程根的定義，設(shè)x1，x2為方程的根，不必將x1，x2具體求出（求不出來(lái)）.利用恒等式f（x）=0，將a分離出來(lái)，接下來(lái)討論與y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù).這樣的解題思路也是水到渠成的，不需要過(guò)多的技巧性，僅需要學(xué)生理解方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)這兩個(gè)基本概念，分離參數(shù)法是學(xué)生在眾多練習(xí)中已經(jīng)熟練掌握的方法，然而方法的運(yùn)用總要建立在一定的概念理解之上，才能更好的解題.

2.練習(xí)的選擇要具有針對(duì)性，體現(xiàn)各知識(shí)的交互融合

在（1）、（2）兩問(wèn)的分析中，明顯感覺(jué)到這一試題考查的知識(shí)點(diǎn)很多，如函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)，二次函數(shù)等.高中數(shù)學(xué)知識(shí)多，要在一張?jiān)嚲碇泻w幾乎所有知識(shí)，試題中必將出現(xiàn)知識(shí)的交互融合.沒(méi)有對(duì)高考真題的針對(duì)性練習(xí)，很難對(duì)眾多知識(shí)融合的試題做出快速簡(jiǎn)潔的解答，如判斷導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1的符號(hào)，學(xué)生難以動(dòng)手處理.若是在平時(shí)有類似的練習(xí)，頭腦中的潛在意識(shí)就會(huì)促使其用因式分解的方法處理.在歷年高考題中，經(jīng)常會(huì)碰到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式、數(shù)列與不等式等知識(shí)的整合，這都需要學(xué)生在平時(shí)練習(xí)中總結(jié)歸納.

3.數(shù)學(xué)思想方法要滲透在教學(xué)中

通過(guò)對(duì)此試題的研究我們發(fā)現(xiàn)，思想方法的考查在高考數(shù)學(xué)中至關(guān)重要，這一試題就考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分離參數(shù)法、放縮法等基本思想方法.對(duì)思想方法的考查，就是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.掌握理解思想方法與否將在考試中區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.歷年的高考數(shù)學(xué)壓軸題都會(huì)考查到數(shù)形結(jié)合的思想，如2016年全國(guó)Ⅰ卷理科第21題：已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明x1+x2＜2.［2］這道試題就考查了數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)、函數(shù)與方程等思想方法.又如2016年江蘇高考數(shù)學(xué)第19題：已知f（x）=ax+bx（a，b＞0，a≠1，b≠1）.（2）若0＜a＜1，b＞1，函數(shù)g（x）=f（x）-2有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求ab的值.［3］這道試題考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、放縮法等思想方法.文2和文3都對(duì)高考試題進(jìn)行了詳細(xì)的分析.

四、結(jié)束語(yǔ)

本文以2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科卷的壓軸題為研究對(duì)象，對(duì)高考試題進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并從多角度給出了解題思路與過(guò)程.從反思中得到啟示：要深度挖掘教材上的基本概念的含義；要有針對(duì)性地練習(xí)；在練習(xí)中要滲透思想方法的教學(xué).教師在教學(xué)中也要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行多角度剖析并對(duì)碰到的問(wèn)題總結(jié)歸納，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力與反思能力.

1.盛朝陽(yáng).2016年高考數(shù)學(xué)四川卷文科壓軸題的研究與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下），2017（3）.

2.徐章韜.MKT：化無(wú)形思想為有形技巧——基于對(duì)一道“函數(shù)零點(diǎn)”高考試題的分析［J］.教育研究與評(píng)論·中學(xué)教育數(shù)學(xué)，2016（8）.

3.徐堅(jiān).轉(zhuǎn)換觀點(diǎn)，化繁為簡(jiǎn)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2016（11，12上）.F