加強創新思維，學會靈活變通
——以2017年江蘇高考數學試卷為例

☉江蘇省常熟市王淦昌中學 蔣志學

2017年江蘇高考數學試卷的總體特征就是立足基礎，注重對考生能力的考查.試卷總體結構穩定，涉及的知識點比較全面，對重點內容的考核突出，層次分明.試題總體難度設置合理，既能有效地進行區分，有利于不同層次的高校選拔人才，又貫徹落實好了素質教育的目標.

一、試題總體特點

表1是必考題各知識點的設置情況.

表1 2017年江蘇高考數學卷知識點統計

1.重基礎，抓主干

總體來說，該套試題緊緊圍繞教材，易于學生著手解答，無偏題，無怪題，無超綱題，能較好地反映考生的真實水平.填空題1～10題、解答題15～16題以及附加題部分考查的都是學生的基礎知識掌握情況，解法比較常規，不存在復雜的運算，只要用對方法，認真解答，完全是能夠拿分的；填空題11～14題主要考查的是考生的綜合能力，與前面的“基礎題”相比對思維能力的要求比較高，講究數學思想與數學方法.盡管如此，這些所謂“難題”的解決思路及解決方法是常規的，也都是學生在日常學習過程中遇到過的；解答題的第17題考查的是解析幾何，不同以往，計算量并不大，只要考生明確方法，動手計算，都能得到較好的分數.

例1（2017年江蘇卷第11題）已知函數（fx）=x3-2x+，其中e是自然對數的底數，若（fa-1）+（f2a2）≤0，則實數a的取值范圍是_______.

命題人將學生熟悉的函數y=x3-2x和y=ex-結合成新的函數，即f（x）=x3-2x+ex-，函數雖然相對較復雜，但考生只要經過觀察，就能夠借助平時的解題經驗，通過求導的方法以及不等式的相關知識判斷該函數在R上遞增且為奇函數.在此基礎上，考生就能確認滿足f（a-1）+f（2a2）≤0的實數a的取值范圍，將問題轉化為不等式進行求解.求解過程雖然簡單，但考查的知識點比較綜合，對學生的數學思維及轉化能力的考查要求比較高.

2.能力立意，適度創新

相比與往年，2017年的江蘇數學卷更強調創新性，題目的設置以考綱為基礎，重點考查考生的數學基礎知識、數學思想及數學方法的掌握情況.填空題第5題考查的是算法流程，但卻以分段函數求值的形式進行呈現；第7題綜合性更強，將函數定義域的求解、解一元二次不等式及幾何概型的知識點結合起來.像這樣的綜合考查出現在好多試題中，比如第12題綜合了平面向量、三角函數及解三角形，第13題同時考查了直線和圓、向量數量積及線性規劃.諸如這些試題，考點都是學生學過的基礎知識，但是對考生的思維能力有著較高的要求，需要考生綜合地、靈活地運用所學的知識和方法，創造性地解決問題.

例2（2017年江蘇卷第19題）對于給定的正整數k，若數列｛an｝滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+an+k=2kan對任意正整數n（n＞k）總成立，則稱數列｛an｝是“P（k）數列”.

（2）外網門戶。主要實現對外門戶的信息發布與展示，包括集團信息，組織架構、新聞公告等，實現門戶信息的動態發布。

（1）證明：等差數列｛an｝是“P（3）數列”；

（2）若數列｛an｝既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，證明：｛an｝是等差數列.

本題考查的是等差數列定義及通項公式的求解，涉及的數學方法主要有代數推理、轉化與化歸，對學生綜合運用數學知識的能力要求比較高.

通過分析題干可知，本題定義了“P（k）數列”.對于考生而言，本題的重點就是弄清楚an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+an+k=2kan.在數列中，n是一個變量，只有認識到這一點，考生才會想到用n代替n-1.

第（2）問中，考生需要聯系到P（k）數列的定義，一個數列既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，而題目要求證明該數列是等差數列.考生需要考慮到“P（2）數列”與“P（3）數列”具有同樣的性質，即均是相鄰若干項的關系，最符合定義的就是“an-1+an+1=2an”.從這個突破點著手，考生可以嘗試去求解答案.

二、試題創新點評析——以解答題第18題第（2）問為例

在2017年的江蘇高考數學卷中，相當一部分的考題不單單是考查單一的考點，而是同時考查多種數學能力與方法，對考生的創新能力是一大考驗.同時，命題人在設置題目時會充分考慮不同能力水平的考生之間的差異性，多數試題的解答方法與思考方式并不是唯一的，只要找到方法，就能進行求解.

圖1

（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；

（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側棱GG1上，求l沒入水中部分的長度.

標準答案給出的解法是設角，利用三角函數及正弦定理的知識進行求解.除此以外，考生還可以將其視作平面幾何題，借助解析法，繪制棱臺的截面等腰梯形E1EGG1.以O點為原點，EG所在直線為x軸，OO1所在直線為y軸，建立直角坐標系（如圖2），建立直線方程進行求解.

圖2

三、教學啟示

對于學生而言，創新意識是可以經過系統的練習來提升的.在高中數學的教學過程中，如何調動學生的能動性，培養他們的創新、求異、探索精神，是現階段高中數學教育的一大重點.

1.引導學生多角度考慮問題

在解決數學問題時，考生都是選用自己已掌握的知識或之前的解題經驗來解答，但是在高考的答題過程中，常常會出現常規方法無法解答或解答過程過于煩瑣的情況，在這樣的情況下，考生就需要改變思考角度，變化思維方式.

本題的常規解法為數理分析法，但解答過程比較煩瑣.不妨可以借助向量的知識進行解答.可以令m=（a，b），n=（c，d），因為m·n≤|m||n|，即可證明，過程簡單易懂.當然，要在考試過程中想到這樣的非常規解法是需要平時的思考與積累的.老師在教學過程中要注意引導學生用不同的角度去思考同一個問題，培養學生認知的創新性與跳躍性.

2.鼓勵學生拓展思維，開放思考

在日常的教學活動中，老師要指導學生進行發散性思維訓練，要求學生看待問題不要僅僅局限在一個小點上，要結合已有的條件積極探索可能的解答過程與結論.下面以立體幾何的講授為例.

例5 已知三棱錐A-BCD的側棱相等，則頂點A在底面BCD上的射影是△BCD的（ ）.

A.內心 B.外心 C.重心 D.垂心

這道題目本身沒有什么難度，但在得出答案之后，老師需要就這道題進行深入探討：“側棱相等”這一條件能否去掉？如果能去掉，需要添加什么新條件？如果要使得點A在底面BCD上的射影是△BCD的內心或垂心，則分別需要添加什么條件？通過這一系列的拓展思考，學生的思維就不再簡單地局限在一道題上了，不同的條件帶來的不同結果會使學生對相類似的問題形成更為透徹的認知，對相互之間概念的差異也會理解得更加準確.最重要的是，通過這種“追問”的教學方式，會激起學生思考問題的熱情，提升學生的自主學習、自主創新能力.

四、結束語

高考數學不僅僅是一場考試，它能較為真實地反映出考生的思維能力及問題處理能力.因此，近年來相當多的高校、教學科研機構及普通高中對高考數學命題進行了深入的研究，推動高考數學考題不斷推陳出新，追求內容上的創新.高考不再局限地考查學生的應試能力，通過一張考卷，命題人要對考生的數學思想、數學方法等綜合能力進行考核，而不是簡單地考查學生的運算、書寫等答題能力.高考試卷中出現的越來越多的開放性、探索性問題，表明了拘泥于傳統的教學方式，培養學生的答題能力已經是不夠的了，老師需要有針對性地指導學生開展創新思維訓練，做到靈活變通，真正地提升學生的數學核心素養，為學生的后續發展打下堅實的基礎.

1.李昊森.數學教學模式創新［J］.北京：人民教育出版社，2012.

2.王弟成.數學教學應從學生已有的思維出發［J］.中學數學月刊，2015（8）.F