不同版本周期函數概念的解析·比較·疑惑

☉上海市奉賢中學 蔡 悅

在滬教版高中教材中，函數周期性這一概念出現在6.1章節：“一般地，對于函數f（x），如果存在一個常數T（T≠0），使得當x取定義域D內的任意值時，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函數f（x）叫做周期函數，常數T叫做函數f（x）的周期.對于一個周期函數f（x）來說，如果在所有的周期中存在一個最小正數，那么這個最小正數就叫做函數f（x）的最小正周期.”［1］

筆者翻閱資料，高中數學教材中較有代表性的北師大版、人教版、蘇教版，雖然這些教材中周期函數的引入方式各有差異，但對于周期函數這一概念的表述基本一致.根據這一概念，結合筆者多年的教學經驗，有以下思考.

一、對于概念中“任意”的理解

如何正確理解概念中“當x取定義域D內的任意值時，都有f（x+T）=f（x）成立”，首先要將其中的“任意”與“存在”類結論進行區分.例如，判斷函數f（x）=sinx（x≠0）是不是周期函數.我們知道f（x）=sinx（x∈R）是一個周期為2π的周期函數，然而應當注意到定義域中挖去0后，當x=-2π時，f（x+2π）=f（0）無意義.于是該函數并不是周期函數，因為有一個地方不滿足要求，不符合“任意”一詞.也就是說，周期性應當是函數的整體性質，并不存在函數局部滿足周期性的說法.

而進一步挖掘概念中這句話，我們可以得到一個隱含的條件“若x∈D，則必有x+T∈D”.于是就有了這樣的結論：“若函數f（x）存在正周期T，則其定義域必定正向無界，也就是自變量的值可以趨向正無窮；若函數f（x）存在負周期T，則其定義域必定負向無界，也就是自變量的值可以趨向負無窮.”于是對于如y=sinx這樣的既有正周期又有負周期的函數而言，其定義域必定可以趨向正無窮和負無窮.于是在判斷一個函數是否為周期函數時，定義域可以作為一個先決的條件.

二、概念理解中的兩個常見誤區

（1）教材中指出：“在本書中提到三角函數的周期

我們不妨再進一步，如果將命題改為“所有存在正周期的非常值函數的周期函數都一定存在最小正周期”，［2］又是否正確呢？其實這個命題仍然錯誤，比如Dirichlet函數：為有理數，所有的有理數都是它的為無理數，周期，自然存在正周期，同時也是非常值函數，然而它還是不存在最小正周期.

（2）若函數（fx）存在周期T，則kT（k為非零整數）一定也是（fx）的周期嗎？這個命題對于初學的學生來說，是很容易弄錯的.因為如果僅著眼于如y=sinx這樣的既有正周期又有負周期的函數，那么就無法找到反例.事實上，對于像前面提到的函數y=sinx（x≤0）這樣，僅存在負周期而無正周期的函數而言，不難發現，若T和kT都是其周期，則，于是命題中的常數k必須是正整數.同樣，對于僅存在正周期而無負周期的函數也是如此.時，一般都是指它們的最小正周期.”那么，是否所有的周期函數都一定存在最小正周期呢？其實不然，比如函數y=sinx（x≤0），因為滿足sin（x-2kπ）=sinx（k∈N*），所以它有負周期-2kπ（k∈N*），卻不存在正周期，更不存在最小正周期.

那么，如果將這個命題改為“所有存在正周期的周期函數都一定存在最小正周期”，又是否正確呢？其實仍然可以找到反例，比如，常值函數y=1（x∈R），顯然任意的正實數都是它的正周期，但不存在最小正周期.

三、概念的幾何解釋

從概念上理解，不難得到周期函數的圖像存在這樣的特征：若周期T＞0（T＜0），則函數圖像上任意一點向右（左）平移T個單位后仍在該函數圖像上.為了辨析理解，筆者在課上設計了兩個函數的圖像（圖1、圖2），其實只要理清周期函數的圖像特征，不難發現它們都不是周期函數.

圖1

圖2

至此，我們對于周期函數的圖像特征似乎已經挖掘得較為透徹.然而筆者發現，更多的學生對于周期函數的圖像停留在了“周而復始”、“不斷重復”這樣的印象上.那么，周期函數的圖像是否一定是學生所認為的“周而復始”、“不斷重復”呢？我們不妨來考查這樣一個函數：我們將周期函數f（x）=|x-2k|（x∈［2k-1，2k+1］，k∈N） 的圖像僅僅取…（其中m∈N）的部分，于是就得到了如圖3所示的函數圖像.從圖像上來看，似乎與學生印象中的“周而復始”、“不斷重復”并不吻合，該圖像上相鄰兩段通過平移并不能重合，然而這的確是一個周期函數，滿足周期的定義：當x取定義域D內的任意值時，都有f（x+2）=f（x）成立，所以這是一個周期為2的函數.

圖3

四、概念的延伸

若定義域為R的函數f（x）、g（x）都是周期函數，那么f（x）+g（x）也一定是周期函數嗎？對于這個命題，學生甲給出這樣的解答：假設函數f（x）的周期為T1，函數g（x）的周期為T2，則有f（x+T1）=f（x），g（x+T2）=g（x），所以只需取T=［T1，T2］（［T1，T2］為T1和T2的最小公倍數），那么f（x+T）+g（x+T）=f（x）+g（x），所以T為函數f（x）+g（x）的周期.如此解答粗看似乎挺有道理，但其實經不起推敲，倘若T1和T2不存在最小公倍數呢，比如T1是無理數，T2是有理數，那就找不到這樣的周期T了.所以這個命題其實是假命題.同樣地，對于兩個周期函數作其他四則運算也是如此.

反過來，如2016年上海高考卷第18題，判斷命題真假：設f（x）、g（x）、h（x）是定義域為R的三個函數，若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以T為周期的函數，則f（x）、g（x）、h（x）均是以T為周期的函數.這個命題是真命題，因為條件中這三個函數的周期相等，那么它們作四則運算的結果也都是周期函數.比如：f（x）=所以函數f（x）也是周期函數.

那么對于兩個定義域為R的函數的復合函數y=f（g（x））呢？容易發現，若f（x）是周期函數，而g（x）不是，則函數y=f（g（x））不一定是周期函數；若g（x）是周期函數，則無論f（x）是不是周期函數，函數y=f（g（x））一定是周期函數.

反過來，若函數y=f（g（x））是周期函數，那么定義域為R的兩個函數f（x）、g（x）是否至少有一個是周期函數呢？其實，這還是一個假命題.如：f（x）=x2，g（x）=sin|x|；再如

五、對于概念的疑問

雖然滬教版、北師大版、人教版、蘇教版高中數學教材中函數周期性的表述基本一致，但查閱大學代表性教材，如高等教育出版社的同濟版高等數學（第六版）：設函數f（x）的定義域為D，如果存在一個正數l，使得對于任意x∈D有（x±l）∈D，且f（x+l）=f（x）恒成立，則稱f（x）是周期函數，l稱為f（x）的周期.［3］

再如高等教育出版社的數學分析講義（第五版）：設函數f（x）定義在數集A上.若?l＞0，?x∈A，有x±l∈A且f（x±l）=f（x），則稱f（x）是周期函數，l稱為函數f（x）的一個周期.［4］

我們不難發現，與中學教材中“周期函數”概念不同的是，大學教材中要求周期函數必須同時滿足f（x+T）=f（x）和f（x-T）=f（x）兩個條件，這也意味著其定義域的值可以趨向正無窮及負無窮.如此一來，以上所探究的很多問題顯然都會出現不同的結果.再如問題：周期數列是不是周期函數？按照高中概念，理當算是，因為數列也是一類特殊的函數，顯然周期數列存在正周期，但不存在負周期.然而按照大學教材，肯定不是.

同一概念上如此的偏差勢必會對各自的教學帶來影響，也不利學生前后學習的連貫性.希望能夠盡快看到兩者的相融，釋疑筆者一直以來對于這一概念的困惑.

1.袁振東，趙小平.高級中學課本高中一年級第二學期數學［M］.上海：上海教育出版社，2007.

2.黃利娜.周期函數和的周期性［J］.中學數學，2004（1）.

3.同濟大學數學系.高等數學第六版上冊［M］.北京：高等教育出版社，2007.

4.劉玉璉.數學分析講義（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.F