小議圓錐曲線復習教學的新視角

☉浙江省杭州市瓶窯中學 葉高嬌

眾所周知，圓錐曲線是中學數學的重點和難點，在高考中始終占據著重要地位.從學生學習的現狀來看，我們不難發現圓錐曲線始終是學生較大的“軟肋”.究其原因，筆者認為主要有三：第一，圓錐曲線本身的運算要求更高，而應試中短時間內的高要求，運算則顯然是大多數學生較為薄弱的環節；第二，圓錐曲線概念、性質以及綜合運用能力弱，這主要是因為復習教學沒有合理的整合性，教師合理的整合才能有助于學生合理的掌握；第三，也是最為重要的一點，沒有針對近年來高考熱點問題、重要問題進行分析、思考和追蹤，從高考真題中尋找考查的熱點，做到有的放矢，這是復習教學的關鍵.

自2004年浙江高考自主命題以來，浙江卷對于核心知識的命題出現了不少經典問題.這些經典問題既考查了學生的基本知識和基本技能，也從立足于教材的角度作出了很好的區分，浙江卷給人以親切而不高冷，區分又非常合理的一種態度.本文結合本省近年來較有代表性的問題與大家一起分享，以便給后續的復習教學一些新的啟發、新的思考.

一、定義考查的新視角

定義的考查是高考命題的基本方向，但是定義考查的新意卻是比較難實現的.不難發現，以往對圓錐曲線定義的考查主要集中在圓錐曲線的感性定義之中，因此區分度較小，即便考查也沒有新的視角，屬于簡單問題.浙江卷的命題意圖卻從全新的視角出發，考查圓錐曲線的定義及其相關知識，從顯而易見的角度辨別學生是否理解圓錐曲線的含義，可謂從教材出發，高處著眼學生知識體系和能力立意.

例1 （2015年浙江文7）如圖1，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是（ ）.

（A）直線

（B）拋物線

（C）橢圓

（D）雙曲線的一支

圖1

分析：本題的載體是空間幾何，但是選項是清一色的圓錐曲線，對學生而言，這樣的問題顯然是知識整合處的考點，那么問題立足于教材哪里呢？以往的教學做了那么多的模擬題，是否認識到這樣的問題才是源自教材又高于教材的好題.學生解決這樣的靈活考題，往往缺失了知識的聯系性，不妨讓我們翻開人教版教材選修2-1，來到圓錐曲線一章的第一頁，你能看到下列三幅圖組成的章頭圖，如圖2.

圖2

古希臘數學家在沙灘上研究對頂圓錐時，用不同角度的平面去截圓錐，發現了圓、橢圓、雙曲線和拋物線，因此圓錐曲線就此得名.教材中正是以這樣的章頭圖引入，告誡學生其名稱的真正含義.令人惋惜的是，筆者發現不少教師在教學時對章頭圖都沒有認真思考過，很多學生到高三畢業都不知道圓錐曲線的真正含義？這樣的教學又有多少意義？讓我們回頭思考原題：先將平面抽離，則動點P滿足∠PAB=30°在空間的軌跡是以斜線段AB軸，以AP為母線的圓錐表面，若將平面α垂直于軸AB插入，則顯然軌跡是圓；若將平面α與軸AB成30°角插入，則顯然軌跡是拋物線；現斜線段AB與平面α所成的角為60°，其軌跡介于拋物線和圓之間，顯然是橢圓.將空間幾何問題與解析幾何問題融合考查，成為浙江高考圓錐曲線問題的新視角.再來看一道浙江的真題.

例2 （2008年浙江理10）如圖3，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）.

（A）圓 （B）橢圓

（C）一條直線 （D）兩條平行直線

圖3

圖4

通過對比研究，我們不難發現浙江卷的試題命制總是有“似曾相識燕歸來”的感覺，研究高考可以從研究高考試題的共性下手，研究問題背后的數學本質，研究教材中最值得我們教學的知識核心.筆者以為這正是這些概念考查問題帶給我們的新思考，引導高三概念復習教學追求回歸教材、思考教材、挖掘教材.有興趣的讀者可以進一步研究這些變式問題：

變式1：如圖4，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足.若點C在平面α內運動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點C的軌跡為_________.（答案：拋物線.）

變式2：二面角α-l-β大小120°，AB垂直平面β交l于B，動點C滿足AC與AB成40°角，則點C在平面α和平面β上的軌跡分別是___________.（答案：雙曲線、圓.）

二、性質考查的新視角

對于圓錐曲線性質的考查，浙江高考命題也可謂精挑細選，以一種“猶抱琵琶半遮面”的感覺出現.眾所周知，橢圓、雙曲線、拋物線有非常多的性質，在各種模擬試卷中對其性質的研究不可謂不深，甚至某些性質達到了專家研究的級別，但是高考命題卻反其道行之，不以“偏、難、繁”為對象，而是以教材所講述的基本性質為考點進行編制，再一次體現復習教學以教材為綱，又高于教材的基本要求.筆者以2011年浙江理科填空壓軸為例，來思考性質考查的新視角.

例3 （2011年浙江理17）設F1，F2分別為橢圓1的左右焦點，點A，B在橢圓上，若，則點A的坐標是________.

圖5

分析：初讀本題，感覺試題表述言簡意賅，而且定值類問題應該在難度上也不會太大，但是筆者給學生嘗試后發現，學生對于問題的理解卻是直觀的很，其思維方式根本沒有立足橢圓的基本性質思考，看一下學生的嘗試：設直線AF1的斜率為k（k＞0），則直線AF1的方程為）.聯立橢圓x2+3y2=3，得（1+3k2）x2+采用這樣的方法處理的學生基本只能停留在此，為什么做不下去了呢？我們發現，學生對于圓錐曲線問題的求解已經被訓練成了一種模式化、套路化，即直線和圓錐曲線進行聯立，采用韋達定理代入代數條件獲得解決，一旦韋達定理失效，則學生慌亂失措.本題恰好是找到了應試教學的軟肋！其實學生的方式不是不能做，我們將其解決完畢，結合圖5可知，此時xA=0，點A的坐標是（0，1）.同理，當k≤0時，點A的坐標是（0，-1）.但是，這樣的運算去處理在一個填空問題上，顯然是得不償失的.那么教師應該思考，高考試題到底考查了學生什么呢？看似平淡無奇，其背后隱藏的數學性質是什么呢？

我們回顧圓錐曲線橢圓第一課，在介紹橢圓性質的時候，我們闡述了橢圓對稱性是其最基本的性質，其關于坐標軸和原點對稱，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.高考命題正是基于此，從教材視角入手，我們思考本題的解答應該是從對稱性入手：如圖6所示，設直線AF1與橢圓的另一個交點為B1，設點A的坐標為（x1，y1），點B的坐標為（x，y），由及橢圓對稱性可知，

圖6

122|F1A|=5|F1B1|，得y1=-5y2.設直線AF1為：x=ty-，聯立橢得y1=±1.故點A的坐標是（0，±1）.

本題的合理思路才是命題者想傳遞的，其以教材橢圓最基本的對稱性為出發點，巧妙地將線段利用中心對稱作出，形成了學生普遍可以使用的韋達定理，這才是基于教材又高于教材最合理的體現.對于這一經典的高考真題，我們不妨對其進行改編嘗試：

改編1：如圖7，設F1，F2分別為雙曲線x2-y2=1的左，右焦點，點A，B分別在雙曲線的左右兩支上，且滿足，則直線FA的斜率為______.

1

圖7

分析：如果理解了例3，自然一眼就看透了本題，雙曲線中心對稱的性質躍然紙上，利用這一對稱性.我們可以將其轉換為合理的常態問題解決.筆者認為，對于高考所考查的視角，教師要注重其數學問題背后的知識，要反復體會，要多角度思考，要以不同載體進行訓練（.答案：±

改編2：點P為雙曲線=1（a＞0，b＞0）第一象限內動點，A1，A2為實軸端點，O為坐標原點，記直線PA1，PO，PA2斜率分別為k1，k2，k3，若0＜k·1k·2k3＜27且可取遍開區間（0，27）內任意實數，則雙曲線離心率為_________.

分析：橢圓、雙曲線中有不少經典的性質，從深度的角度來說，可能做不到面面俱到，但是常見的性質需要教師提醒復習到位.如橢圓=1（a＞b＞0）長軸頂點與橢圓上動點P（m，n）（不重合于長軸頂點）連線的斜率乘積；雙曲線=1（a＞0，b＞0）實軸頂點與雙曲線上動點P（m，n）（不重合于實軸頂點）連線的斜率乘積2.本題筆者編制的時候恰以上述性質為背景，有了這樣的知識背景，本題的解決自然水到渠成.本題 中，又0＜k1·k2·k3＜27且可取遍開區間（0，27）內任意實數，所以

三、運算考查的新視角

以往的直線和圓錐曲線綜合性問題，大量的復雜運算往往是必備的.但是近年來浙江卷卻反其道行之，大量運算的圓錐曲線試題并不是考查的首選，而是以非常態運算作為考查的第一準則，即首先講求算理，有了合理的算理再講求運算，圓錐曲線問題已經脫離了以往一味的死算、蠻算，進入了擁有合理算理的全新運算視角，教學要以這樣的真題作為教學的導向，讓學生理解合理的算理，也要讓教師明白很多模擬卷上的圓錐曲線綜合性問題都是“誤人子弟”.

（1） 已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標；

圖8

（2）若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離最大值為a-b.

分析：本題第（1）問實則是橢圓上一點的切線性質，大部分學生無視知識的類比：過圓x2+y2=r2上一點P（m，n）作圓的切線，則切線方程為mx+ny=r2.圓和橢圓實則是同一曲線，自然而然在切線的性質上是異曲同工的.第（2）問實則是函數問題的研究，既可以從函數視角建立模型，也可以尋找不等式的方式，但是顯然與模擬試卷中的常態運算完全背離，可見命題者對學生運算處理能力高度上的考查，那些一味靠直線與圓錐曲線聯立死算的學生則往往敗下陣來.

結合①②及P在第一象限，得

第（2）問：從問題的一般算理角度出發，自然是點到直線的距離公式，這是比較合理的、容易想到的算理.可時有最大值.

當然本題還有不等式的算理，這不過是技巧上的選擇：設P（x0，y0）是橢圓=1上一點，且x0＞0，y0＞0，則橢圓在P點處切線l方程為，所以橢圓在P點處法線l2方程為顯然題設中的P點到直線l1距離恰等于坐標原點到此法線l2的距離，設該距離為，于是由柯西不等式值為a-b.

從2014年開始，有興趣的讀者可以研究下浙江卷圓錐曲線綜合性問題，其思維的難度相比以往有所上升，但是其大量的運算卻不見得提升，這與命題者努力提高選拔的思維層次性指導方針密不可分.因此筆者認為教學中研究這些真題對于復習教學是大有裨益的.限于篇幅，本文研究了近年來浙江高考中的新的方向，也限于水平不可能面面俱到，但是從概念、性質、算理的視角來說，高考命題者一直在不斷求變，教師要緊緊圍繞這些試題所傳遞的信息，將這一信息從中提煉出來，不斷分析、總結，使其在圓錐曲線學習環節獲得全新的認知和思考，同時也提升教師自身專業化的素養.

1.石志群.高考數學命題思路分析及復習策略［J］.中學數學月刊，2009（11）.

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3.宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升［J］.中學數學月刊，2013（5）.

4.朱永祥.再談數學思想方法的挖掘和應用［J］.中學數學（上），2008（2）.