關于直觀想象素養的PME理論及應用

☉浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 沈金興

新的高中數學課程標準修訂組提出了六大核心素養，這已在中學數學界廣為人知.而作為一線教師，該如何在課堂上落實這些核心素養呢？這就需要全方位審視和解讀這些素養.本文試圖對于“直觀想象”這個核心素養，通過PME（數學教育心理學）的視角去尋找相關的理論依據，并在教材解讀和數學教學上應用其理論.

一、直觀想象涵義

直觀想象的提法并非空穴來風，許多數學家與哲學家就對直觀推崇備至.比如，哲學家康德認為“缺乏直觀的概念是盲目的”；英國數學家格里菲斯在討論數學的直覺和領悟時就指出：“數學中最常用的思維媒介是數學結構的模型和實例，對于初學者來說，幾何圖形比代數符號更容易掌握和接受.”因此不妨先看看世界上一些國家對直觀想象的描述.

1.國外對直觀想象的認識

在日本的廣辭苑中，對直觀想象是這樣解釋的：“一般地，不含有判斷、推理的思維作用，直接把握、感知和想象對象”；而在日本的哲學詞典中對直觀想象的解釋是“直接地把握對象的全貌和本質的認識作用”.

2000年美國NCTM在《數學教育的原則和標準》中指出：“用直觀想象、空間推理和幾何模型解決問題，幾何觀念在表征和解答其他數學領域中的問題和現實世界的問題時是非常有用的，因此應盡可能地把幾何和其他數學內容結合起來.”

英國全國統一數學課程標準（1999年修訂）中對直觀想象的能力要求較為詳細，并把它描述在各個學段里.例如，在中學的第二學段就這樣要求：“能想象和描述二維和三維圖形，以及它們的表現形式，精確應用幾何語言，能辨認相同圖形；能精確地作出二維和三維幾何圖形或模型，能熟練分辨多邊形的對稱性”等.

顯然，國外對直觀想象的認識是以幾何直觀為基礎的，盡量利用幾何圖形（或模型）來感知和表征數學問題.

2.我國新修課標對直觀想象的定義

高中數學課程標準修訂組給出的直觀想象核心素養的定義：直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題.主要包括：利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.同時指出了該素養的學科價值是發現和提出數學命題、分析和理解數學命題、探索和形成論證思路的重要手段，是構建抽象結構和進行邏輯推理的思維基礎，是培養創新思維的基本要素.

修訂中的課標認為，在高中階段，直觀想象主要表現于：利用圖形描述數學問題；利用圖形理解數學問題；利用圖形探索、解決數學問題；構建理論體系的直觀模型.

由此可見，我國對直觀想象核心素養的認識與國外基本一致，都認為要以直觀明了的幾何圖形來幫助學生理解感知數學問題，使復雜、抽象的數學知識變得簡明形象，有利于探索解決問題的思路和預測結果.既然如此，PME中關于直觀想象的相關理論就可應用到該素養的落地實踐上.

二、PME關于直觀想象的理論研究及應用

1.國內學者的關鍵期理論

國內學者林崇德、沃建中等人對小學生的圖形推理策略的發展特點進行了研究，發現小學生（從一年級到六年級）在圖形推理問題的解決上其直觀想象的能力是不同的.一般規律是隨年齡的增長其能力呈上升趨勢，且有幾個很關鍵的時期.［1］例如，二年級小學生已開始能夠同時想象兩種圖形，其直觀想象的能力發展迅速；而到了五、六年級，更能夠不受題目形式的影響，從本質上進行把握.所以在小學階段，二年級、五年級與六年級是圖形直觀想象發展的關鍵期.

同樣，國內學者孫敦甲［2］等人對中學生在幾何圖形想象能力方面也做了實證研究.從初一到高二共五個年級，研究了學生對平面和立體的基本幾何圖形的初步想象能力與深入想象能力的表現，得出了中學生的幾何直觀想象發展是從基本幾何圖形的初步想象發展到平面幾何圖形的深入想象，再發展到立體基本幾何圖形的深入想象這樣一個逐步上升的規律特點.在這個上升過程中也存在著明顯的關鍵期，比如從初二開始，學生的幾何圖形想象能力有明顯提高；到了初三，有61.6%的學生具有了基本幾何圖形的初步想象能力；到了高一有53.1%的學生具有了平面基本幾何圖形的深入想象能力；到了高二則有50.2%的學生已具有立體基本幾何圖形的深入想象能力，然后開始呈定型趨勢到成熟期.所以在中學階段，初二、初三與高一是幾何直觀想象能力發展的關鍵期.

關鍵期理論的應用：事實上，小學與中學的數學教材在安排數學知識的順序時就是應用了這個關鍵期理論.以中學為例，初中就是從初二開始學習平面幾何的邏輯證明，從易到難、從簡單圖形到復雜圖形，一直學到初三的圓知識，因為初二、初三是平面幾何學習的關鍵期.而高中數學教材，立體幾何內容是安排在《必修2》上，也正是高一階段學生所學，涉及空間向量的應用安排在《選修2-1》上，是高二學生所學，這都完全適合空間幾何直觀想象能力發展的階段性要求，因為高一是立體幾何學習的關鍵期，高二是成熟期.

正因為中小學數學教材的編者已經按照直觀想象能力發展的年齡特點和規律來編排數學內容，故一線教師在實際授課時就要根據教材內容進行教學，不要隨意調換教學內容順序，以便錯過學生學習的關鍵期.

2.數學理解的發展模型

英國的S.Pirie和加拿大的T.Kieren［3］提出的數學理解發展模型以認知的觀點強調知識理解是一個進行中的、動態的、分水平的、非線性的發展，是反反復復的建構組織過程.兩位學者把學生對一個數學知識的理解劃分了8個水平，分別為：初步了解，產生表象，形成表象，關注性質，形式化，觀察評述，組織結構，發明創造，這8個水平可用嵌套的8個圓來表示（如圖1）.

圖1 數學理解發展的8個水平模型

這8個水平的理解用一組嵌套的圓來表示是為了強調其相互關系，每一個圓包含了前面的小圓，又包含在后面的大圓中，可以逐步拓廣.雖然8個圓代表了8種水平，但這些水平主要是表示內層和外層的差別，并不是強調水平的高低之分，而是表明理解是一個動態的、組織的過程，因為在任一個水平上的理解活動包含了以前水平的所有理解，為發展的連續性提供內層基礎.

數學理解發展模型的應用：以中學的函數教學為例，學生對函數的理解其實就是遵循這個模型的.學生從初二開始學習“變量說”的函數概念，接著了解到了一次函數、二次函數與反比例函數，這是“產生表象”水平的理解，由此形成了某個函數的表象，然后又注意到了函數的性質，若能結合函數圖像解題，則達到了“關注性質”的水平.但是到了高中，又學習了更抽象的“對應說”的函數概念，在面對“分段函數”這類問題時，學生應用初中的方法分析失效了，因為這類函數的圖像完全有別于初中.此時教師要提醒學生，根據高中“對應關系”的函數概念來分析初中所學的函數.于是學生會重新回到“產生表象”的一次函數、二次函數等的圖像上，以形成新的表象：從自變量的不同取值范圍去對應畫圖像.學生學會了畫分段函數圖像后就會總結出一個畫圖像“程序”，這一次達到了“形式化”水平.在接下去的函數單調性、奇偶性學習中，學生又會折回產生表象和形成表象水平，借助初中所學的函數圖像去進一步弄懂形式化水平所需要的概念（如單調性與奇偶性的定義）.當學生這樣不斷地往復后，對高中函數的理解就發展得更豐富到位了，而一旦發展到“形式化”后，就可以應用高中現有的表象進行新函數的研究，而不必去重復或回憶初中的函數知識了，此時就達到了“觀察評述”與“組織結構”的水平了.

在上述理解函數的過程中，當學生的外層理解建立不起來時，就需要一次次地折返回去，將還薄弱的相應內容水平的認識再建構，以滿足外層水平的要求.這樣來回反復，波浪式地前進，保證了理解發展獲得內層水平的堅實基礎.

根據學生理解數學的這個發展模型，一線教師在教學中要不斷采用“先行組織者”策略.該策略是教育心理學家奧蘇伯爾提出的，［4］是指在學習新材料之前呈現給學生的一種引導性學習材料，它以通俗的語言概括說明將要學習的新材料與認知結構中原有知識的聯系，為新知識的學習提供認知框架.先行組織者可以是一個概念、一個定理或一段概括性的說明，當然也可以是形象化的直觀模型.這個策略有助于學生發展直觀想象的能力，以培養核心素養.

3.杜瓦爾的幾何認知關系模型

英國的KeithJones認為，學生的幾何推理能力的發展會對學生直觀想象的能力發展起著至關重要的作用，而杜瓦爾（Duval）的幾何認知關系模型便是相關的幾何學習理論之一.

杜瓦爾認為，幾何認知可分為直觀、結構和推理三類，［4］這三類的幾何認知關系如圖2.

圖2 幾何認知關系模型

幾何直觀就是指幾何性質用圖形來表達，或者是復雜幾何情境的啟發式探究；結構就是指用工具來繪制、構造幾何圖形的過程；推理就是指知識的擴展和解釋、證明的過程.杜瓦爾認為直觀、結構和推理之間雖然有相互促進的關系，但他們之間也可以是相互獨立的認識模式，直觀想象并不一定完全依賴于構圖能力和推理能力.

幾何認知關系模型的應用：高中數學人教版《必修2》中，對立體幾何內容就是采用“直觀感知、操作確認、思辨認證與度量計算”的方法來認識和探索幾何圖形及性質的，而其理論依據顯然與杜瓦爾的幾何認知關系模型是一致的.也就是讓學生先對三維空間的立體圖形的整體觀察入手，產生一個直觀感知，再認識和理解空間點、線、面的位置關系和結構，最后再進行推理論證.當然在這個過程中，也可以相互獨立.故《必修2》第一章的內容是“空間幾何體”，這樣的編排也是可行的，而且這也符合人類認識事物的普通規律.所以一線教師不必有顧慮，按照教材上的順序授課是沒問題的，等學生學完公理、定理，掌握推理論證后再回頭看空間幾何體，此時學生對度量計算會理解得更深刻，他們對空間幾何圖形的認知就產生了螺旋形上升，有了質的提高.

4.范希爾的幾何思維發展模型

荷蘭學者范希爾（vanHiele）將幾何思維的發展劃分為5個水平，［4］概括成了一個比較完整的體系，具體特征和相應的層次水平見表1.

表1 范希爾幾何思維發展水平及含義

上述表中這些由低到高的水平層次是分先后順序的，學生在某一水平上要達到理解和掌握，其前提必須具備前一水平上的大部分能力；反之，學生在某一水平上理解不深，到了高一層次水平反過來俯視前一個層次內容時，就可能理解清楚了.這些不同水平間的發展，不是靠年齡的增長和身體的成熟，主要是靠教學來推動.學生可通過若干教學階段取得進步，但不能繞過某一水平向高層次發展.范希爾的幾何思維發展模型，被認為在學生的直觀感知能力和幾何推理能力的培養方面提供了理論支撐.

幾何思維發展模型的應用：范希爾的這套模型可適用于任何知識的學習，因為學習本身就是一個由下而上、由低到高、由淺入深的循序漸進的過程，整個過程是發展的階段和連續的發展相互統一，所以這5個思維水平內部是互相聯系與互相依賴的.比如，學生目前還只能思考水平Ⅰ的問題，若一定要他接受水平Ⅱ的知識內容，就超過了他的承受能力，就很難有進展.因此作為一線教師，一定要了解學生已有的認知水平，然后再逐漸提升.

例如，在高中數學教材人教版《必修5》的第二章《數列》的2.1節，教材上介紹了畢達哥拉斯學派的“形數理論”：“三角形數”與“正方形數”（如圖3、圖4）.

圖3 三角形數

圖4 正方形數

這是學生第一次遇到，先讓他們有一個直觀認識，達到水平Ⅰ；接著在講到2.3節《等差數列的前n項和》時，可讓學生進一步想象，以提升對“形數理論”的認識：從“三角形數”推導出一次冪和的公式“1+2+3+…+n=，從“正方形數”推出前n個連續正奇數和的公式“1+3+5+…+（2n-1）=n2”（如圖5、圖6），從而使學生達到水平Ⅱ與水平Ⅲ.

圖5 兩個三角形數的組合推出一次冪和的公式

圖6 正方形數推出前n個連續正奇數和的公式

當然教師還可繼續提升學生進一步應用“形數理論”的水平.當講到2.5節《等比數列的前n項和》時，例3涉及二次冪和的公式“，教材上沒有證明，但借助“三角形數”的形式可進行推導，如圖7，具體推導過程可見文5.此時學生對“形數理論”的認知就可達到水平Ⅳ.

這樣一個循序漸進的教學過程，就體現了學生從最初的直觀感知水平慢慢上升到抽象的形式演繹水平，完全符合范希爾的思維發展理論.事實上，學生的學習都可按此模型來解釋，所以教師對學習材料和每一階段的教學安排都可遵循此理論.

圖7 三角形數拓展后推出二次冪和的公式

三、結語

專家們提出的核心素養問題，在中學界也已討論得沸沸揚揚.［6］從PME的視角去解讀“直觀想象”核心素養，也是為了找到相關已成熟的理論，以便在這些核心素養落地時能應用.當然，關于直觀想象的相關PME理論作為教師實踐的理論依據也是見仁見智.本文權當拋磚引玉，共同在教學實踐中進行討論商榷.

1.林崇德，沃建中，陳浩鶯，等.小學生圖形推理策略發展特點的研究［J］.心理科學，2003（1）.

2.孫敦甲，等.中學生數學能力發展的研究［J］.心理發展與研究，1992（4）.

3.李士锜，編著.PME：數學教育心理［M］.上海：華東師范大學出版社，2005.

4.沈金興，王奮平.從PME視角看直觀想象素養及其培養［J］.教育研究與評論，2017（4）.

5.沈金興.畢氏學派的“形數理論”及應用［J］.數學通訊，2013（10）.

6.楊廣娟.“數學抽象”核心素養的養成途徑［J］.中學數學（上），2017（4）.F