把握變式時機，提升思維能力
——高中數學變式教學時機的把握與實踐

☉浙江省寧波市鄞江中學 陳 波

變式教學這一高中數學教師在教學時常用的手段在學生數學學習的過程中能夠起到很大的作用：幫助學生進行正誤辨析的同時令學生學會舉一反三；幫助學生將知識進行有效內化的同時令學生腦海中的知識網絡得以順利構建；幫助學生提升數學思維能力的同時令數學思想方法得以提高與升華；幫助學生綜合能力得到鍛煉和提高的同時令課堂教學效率穩步提升.不過，教師在實施變式教學的過程中應及時而準確地把握恰當的時機并結合學生實際與教學內容進行.

一、在概念生成處變式

我們以在函數奇偶性概念生成處進行問題的合理變式設計為例，此案例中的變式設計能使概念的生成與發展層層遞進，也使得學生在這樣的變式過程中產生自己的感悟與體會，學生在層層遞進的變式訓練中順利實現了函數奇偶性概念的自主建構.

案例1 請觀察以下兩組函數的圖像（圖略）并用自己的語言總結出它們的共同特征.

（1）f（x）=x2，f（x）=|x|，f（x）=x-2；

（2）f（x）=x，f（x）=x-1，f（x）=x3.

老師給出一些提示問題來幫助學生總結.

①若函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱，現將圖像沿y軸翻折，那么圖像上的點（x0，f（x0））會跟翻折后的圖像上的哪個點重合呢？

②根據以上探究，會有怎樣的關系式呢？請用語言描述.

③你能用自己的語言來定義偶函數嗎？

④依此類比，奇函數的定義是怎樣的呢？

⑤你覺得掌握這些定義應該關注哪些關鍵詞呢？你認為奇偶函數的定義域又分別有哪些特點呢？

在自我經驗的激活下對知識形成構建這就是我們常說的學習.學生對知識的簡單吸收，以及教師在知識上的單向傳授都不是真正有價值的學習，真正有價值的學習是師生之間雙向互動對知識展開探索的過程.教師在教學中將教材結構進行有目的地重新組合，并將之進行一系列的問題變式，引導學生在變式的過程中進行觀察、思考、探究及歸納總結，使得數學概念在師生互動中得以形成與發展，同時促進學生對知識的有效內化與深刻理解.

二、在易犯錯誤處變式

學生在知識背景的理解、解題經驗及思維方式等各個層面上與教師相比自然是有很大差距的，因此，解題時候的不周全或者錯誤自然是時有發生.教師如果在教學時能夠關注學生學習的“易錯易混”知識點并因此進行有策略性的變式，則一定能令學生對自己平日容易犯錯的各知識點產生清晰而正確的理解，學生解題與辨析時候的免疫能力也就非比尋常了.

上述兩題考查的知識點主要在函數和數列的本質區別上，函數的定義域是一切實數，數列則是特殊的函數，其定義域為N*或其子集.之所以第三個不等式不一樣也正是因為兩者之間定義的本質有區別而造成的.實踐證明，這樣的變式對于學生深刻領悟數學與函數這兩個概念以及它們之間的差異是具備極其積極的意義的，學生通過這樣的變式往往對這兩者之間的關系能夠形成更為清晰的認識，學生的辨析能力也在此過程中得到鍛煉與提升.

三、在知識交匯處變式

江蘇省考試大綱明確指出高考命題應強調知識之間的交叉、滲透與結合，應從學科整體意義的高度去考慮問題并使試題體現知識的綜合性，要以檢驗學生是否具備網絡化的有序知識體系為目的，關注知識網絡的交匯處進行考題的設計，并在考題設計時注重知識深度的考查.因此，教師應該在主干知識之間的交匯處進行深入的研究并進行有意義的變式設計，使數學知識與方法之間的遷移應用在師生互動的變式探究與訓練中更加順利的實現.

案例3 直線y=k（x+1）與圓（x-1）2+y2=1有公共點，求實數k的取值范圍.

變式1：A=｛（x，y）|y=k（x+1）｝，B=｛（x，y）|（x-1）2+y2｝，若A∩B≠?，求實數k的取值范圍.

變式5：若點P（1+cosα，sinα）（α∈R）在直線kx-y+k=0上，求實數k的取值范圍.

仔細研究本題中層層遞進的一系列變式，我們不難發現這些變式將解析幾何與集合、函數、方程、不等式及三角函數等多個知識點進行了有機的融合，正是在各知識點融會貫通的交匯處進行設計的.習題的內涵和知識間的聯系自然不是一般性的變式可以相提并論的.

四、在拓展延伸處變式

對知識的拓展和延伸不僅能使學生進一步深化對知識的理解，還能使學生的探究引申能力和數學素養得到提升.

案例4 已知a＞0，b＞0，求證：a5+b5≥a3b2+a2b3. ①

證明：用作差比較法，（a5+b5）-（a3b2+a2b3）=（a+b）（ab）2（a2+ab+b2）.因為a，b∈（0，+∞），（a-b）2≥0，故（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）≥0，當且僅當a=b時，等號成立，故命題成立.

拓展1：從原不等式的結構特征入手來分析，還有其他相似的不等式可以證明嗎？

學生經過思考得出a5+b5≥a4b+ab4（a＞0，b＞0）.②

拓展2：①和②兩個不等式相比，哪個更強？能排成不等式鏈嗎？

學生通過對a3b2+a2b3和a4b+ab4的大小比較，得出a4b+ab4≥a3b2+a2b3. ③

故①和②兩個不等式相比，②的結論更強.不等式鏈為a5+b5≥a4b+ab4≥a3b2+a2b3. ④

拓展3：通過①～④的探究，你能得出更一般的結論嗎？

生甲：不等式鏈的一般結論為an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥an-3b3+a3bn-3≥…（n∈N，且每項的次數均為非負），a和b的次數越來越接近.

生乙：寫最后一項時，正整數n的奇偶性應考慮進去，當n是奇數時，an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥an-3b3+

當n是偶數時，an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥

生丙：原以為a6+b6≥2a3b3此類不等式的結論已經很強，但是沒想到在a6+b6與2a3b3之間還有兩項可以插入.結論是：當a＞0，b＞0時，有a6+b6≥a5b+ab5≥a4b2+a2b4≥2a3b3.

最一般的結論因此得出.

不過，教師在進行變式引導與訓練時始終應將學生的實際需要放在首要位置，并因此結合學生的實際情況進行具備一定研究價值的變式拓展，學生在這樣的變式過程中不斷思考與探索才能真正將知識內化為己有.

五、在思想方法處變式

數學思想方法是高中數學學習中最為關鍵的重要內容，它不僅是對數學知識與方法的本質規律的理性認識，作為數學思維結晶與概況的數學思想方法更是發展學生數學綜合能力必不可少的金鑰匙，對于數學問題的解決來說是其靈魂與策略.因此，教師在自己的教學中應將數學思想方法如春雨潤物般地滲透進自己教學的各個環節，在經典例題的教學中隨時關注思想方法的生成與發展并因此進行變式的設計、引導與探究，以此促進學生的數學思維高速發展.

（1）求f（x）的單調區間與值域；

（2）設a≥1，函數g（x）=x3-3ax2-2a，x∈［0，1］，若對于任意的x1∈［0，1］，總存在x0∈［0，1］，使得g（x0）≤f（x1）成立，a的取值范圍怎樣？

分析：（2）根據題意，只需要g（x）在x∈［0，1］上的值域包含f（x）在x∈［0，1］上的值域.因此，只需要通過導數求得g（x）在［0，1］上的最大值與最小值.

已知函數f（x）=7x2-28x-c，g（x）=2x3+4x2-40x.

變式1：若對任意x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求實數c的取值范圍.

變式2：若存在x∈［-3，3］，使得f（x）≤g（x）成立，求實數c的取值范圍.

變式3：若對任意x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實數c的取值范圍.

變式4：若對任意x1∈［-3，3］，總存在x2∈［-3，3］，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實數c的取值范圍.

學生主要錯誤有：①對題中“任意”與“存在”兩詞的含義不能形成正確的認識；②對題中單變量與雙變量的概念與意義不能形成正確的認識；③對單恒成立與雙恒成立也一樣認識不清.

學生在這一系列包含恒成立、方程有解以及不等式有解等問題的變式中能夠深刻領悟到的數學思想方法是多種多樣的，而且，活躍的課堂氛圍給學生帶來了更積極、更活躍的思維，運用思想方法進行數學解題的良好習慣也在有意義的變式訓練中得以較好地養成，課堂品位自然非一般性課堂可比.

學生在面對實際問題時的思維往往會比較靈動而多向，因此，教師在教學中應注重不斷激發學生的興趣并使他們的思維空間得到不斷的刺激與拓展.掌握時機進行科學的變式訓練對于此目標的實現來說正是極為有效的手段.學生的思維在條件的改變、結論的改變等一系列的變式訓練中會更具靈活性、周密性、變通性與創造性.充斥著思辨、探究、交流以及拓展延伸的變式教學帶給學生的是活力煥發的激情，教師與學生在這樣精彩的共同演繹中才能使高中數學的課堂生成越發熠熠生輝.F