解題教學中對數學核心知識的理解

☉江蘇省邳州市炮車中學 陳海飛

眾所周知，數學解題的本質主要是轉化，是將陌生的問題情境轉化為熟悉的知識，以展示最為簡潔的充要條件形態.但是數學解題的難點在于知識的選擇性，有時沒有合理的方法、沒有合理的算理、沒有巧妙的思考，初等數學中不少問題的解決便會進入困境（這也是初等數學的特點之一，技巧性相對而言比高等數學更為重要一些）.

不少學生（包括教師）將數學學習成績上不去的主因歸結為運氣、狀態等個體之外的外部因素，筆者以為尚不可取.之所以這么說，筆者認為主要原因有三：第一，教師缺乏對當下時代高考的認真研究，自2016年之后，除個別教育大省之外，高考數學卷不再各省份自主命題，這就要求對每年高考命題的思路，考查的熱點、難點，考查的問題類型等有深刻的研究，我們常常聽到試卷命題的風格為“保持平穩、穩中有變”，講得就是這個道理；第二，在函數概念、向量數量積、數列的構造、不等式的運用、翻折問題的處理等核心知識上多研究，不宜在陳舊問題或刪減的知識上過多參與；第三，講解題離不開一題多解，多元的方式恰是對思路的開拓，有助于學生自主選擇適合自身的解題方法，是教學的優化.

一、研究當下反思核心

為什么每年高三，不少學生做了這么多的數學題，花了這么多的時間，其效果卻并不那么顯著呢？筆者曾經也很茫然.隨著教學經驗的增多，高三教學的參與增加，高考真題的研究增多，我們不難發現試題的“保持穩定、力求創新”說得非常到位！來看一下浙江省的兩個真題，請大家做一番思索：

問題1：t為常數，函數y=|x2-2x-t|在［0，3］上的最大值為2，則t=_____.

分析：從兩道問題的表象來看，并沒有什么特別之處，給學生解決這兩個問題，學生最大的感受是差不多類型的問題，用分類討論可以解，但是有些煩瑣.那么這兩個問題到底透露著怎么樣的信息呢？解決這樣的問題的核心知識在哪里呢？這兩個問題恰是2008年浙江高考填空壓軸題和2017年浙江高考填空壓軸題，其實命題者的意圖和核心考點是一致的，來解問題1.從絕對值的幾何意義視角思考，令m=x2-2x，由x∈［0，3］可知-1≤m≤3，問題轉換為當m∈［-1，3］時，|m-t|的最大值為2，利用數軸及絕對值的幾何意義可知t=1.

說明：精彩！命題者在后來的考試說明中反復舉本例，其指出兩個核心考點：其一，絕對值的幾何意義你們知道嗎？這是中學數學的核心概念，早在初中數學就已經了如指掌；其二，自變量x和參量t相對獨立，自然而然的是整體思想可以介入.十年之后，浙江命題者又“殺回馬槍”，君不見兩題本質完全相同，絕對值幾何意義欲然紙上嘛！所以說，研究真題的價值在于理解、掌握其問題背后的核心考點，這樣的思考遠遠比做無數道重復、徒勞的模擬題高效得多！

二、知識交叉理解核心

很多優秀的試題都是在知識交匯處的考查，命題中特別注重知識的交叉，而且選擇的知識點又必定是章節中的核心知識.對這樣的優秀試題的分析，可以讓學生理解知識點在問題的解決中是如何考查的，有助于學生進一步理解章節中哪些知識是重要的、必須的.以向量為例，我們知道向量章節中最為重要的核心知識是向量數量積，以數量積作為考點的問題非常之多，比如向量的夾角公式、投影等，但是若僅單一的考查顯然不會出現在綜合性知識中，將其融合到一定背景的問題中則妙趣橫生.

圖1

（1）求直線AP斜率的取值范圍；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

分析：研究第（2）問，首先看一下參考答案的解答：聯立直線AP和BQ的方程，即解得點Q的橫坐標是|PA|·|PQ|=-（k-1）（k+1）3.令f（k）=-（k-1）（k+1）3，因為上單調遞增，時，|PA|·|PQ|取得最試想問題是解決了，但是這樣的解法是不是真正的考查命題意圖呢？高中數學中某些知識性、工具性的武器是否思考到位了呢？讓我們回到圖形中進一步思考，既然|PA|·|PQ|是共線的，那豈不是|PA|·|PQ|==向量工具性的作用躍然紙上，投影考查的本意凸顯出來，使得問題的解決跟參考答案相比完全是不且僅當x=1時等號成立.

圖2

說明：思路的開拓性，大大降低了計算的復雜性.本題是高考命制的優秀試題，凸顯了對考生的選拔作用，對于注重思維的學生，從垂直的視角聯想到投影，從而向量的工具性較為合適；對于注重運算的學生，強調熟練度，較高的運算能力也可以突破.對于知識交叉處的命題，自然而然成為教學的核心，對于考點的思考，又是方法選擇中的核心知識，因此向量數量積投影概念成為時時刻刻在知識體系中能被調用的重中之重.

三、思想為上運用核心

數學思想是數學教學最核心的部分.從解題教學的現狀來看，要加強核心知識的理解，還需要在數學思想方法上給予滲透，將核心知識在思想方法的指引下合理地運用到位.只有具備思想的教學，才是有深度的、有靈魂的教學.

問題4：設函數f（x）=x2+ax+b.

（2）已知函數f（x）在［-1，1］上存在零點，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

分析：主要分析第（2）問.有興趣的讀者可以搜索參考答案，以分類討論為主的切入，讓問題的解答側重代數化處理，顯得較為生疏.試想，學生不可能如參考答案般地進行問題的討論.因此以思想為載體的核心知識的介入，成為新的思維起點.試想，零點可以轉化為兩個函數的交點，從函數的角度來說，x2+ax+b=0?ax+b=-x2，令函數g（x）=ax+b及h（x）=-x2，則g（-2）=b-2a∈［0，1］，如圖2，構造圖形，記A（-2，1），B（-2，0），C（-1，-1），那么lAC：y=-2x-3?b≥-3，l切：y-1=k（x+2），將其與拋物線y=-x2聯立，可知x2+kx+2k+1=0?Δ=0，得k=4-2正解不合題意舍去），此時l切：y=（4-2）x+9-4，因此b≤9-4，由兩個臨界狀態位置可知-3≤b≤9-4

說明：相比參考答案，這里體現了零點問題即兩個函數交點的橫坐標處理方式，以圖形化的處理替代了代數化的分類討論，言簡意賅的同時，揭示了數學思想方法在解題教學中對核心知識的駕馭.可以這么說，思想方法的介入和運用勢必在困難問題上成為我們的核心武器，對于解題教學中核心知識的理解有著幫助作用.讓我們回頭想一想函數零點這一知識：何為零點？函數f（x）=0的點.零點求解的基本方式，其一，解f（x）=0的方程；其二，轉化為g（x）=h（x），求兩函數交點的橫坐標.核心知識、核心對待、核心思想（數形結合思想是中學數學使用頻率最高的數學思想方法）、核心處理，成為教學的關鍵.

筆者認為，以往講再多的題、練再多的題都沒有能夠解決一個問題的話，那樣的教學是可悲的、低效的.這一問題就是要理解數學考查的核心知識、核心技能、核心思想.章建躍博士早在2010年10月的《中小學數學》高中版的編后漫談中提及：“這一期的文章讓我欣慰又無奈，本期有三篇文章涉及零向量，說明老師們的研究很有專研精神，但是零向量在中學數學中只是一個規定，并非核心知識所在，老師們的研究又有多少意義呢？正是這樣的闡述，讓我們理解中學數學教學要加強核心知識的理解和教學，對于零向量之類的知識，何不瀟灑一點？讓它隨風去吧.”

1.殷偉康.數學概念教學中追問的特征與時機［J］.數學教學研究，2014（5）.

2.黃嚴生，束從武.例談“問思”教學法［J］.中學數學教學，2013（11）.

3.吳志雄.培養高中生數學應用意識的策略與思考［J］.中學數學研究，2010（5）.

4.楊建輝.新課程標準下教師解題設計應具備的幾種意識［J］.數學通報，2011（2）.F