從數學運算素養的內涵，談運算能力的培養

☉湖 北 省 黃 石 市 第 七 中 學 朱 瀟

☉貴州省貴陽市北京師范大學貴陽附屬中學 李鴻昌

一、問題提出

在執教過程中，很多一線教師都有這樣的感受：學生的運算能力欠佳，經常出現“一聽就懂，一做就錯”的現象.為什么會產生這種現象？到底何為運算能力？如何培養運算能力？僅僅只是耳提面命的說“同學們，你們要多算啊，運算能力很重要！”這種“正確的廢話”就夠了嗎？從“數學育人”的目標來看，肯定不是這樣.

數學運算作為核心素養之一，是指學生在學生明晰運算對象的基礎上，根據運算法則解決數學問題的一種素養.它主要包括理解運算對象、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等能力.［1］本文以上述內涵為著手點，結合具體實例，談談提高學生運算能力的一些想法.

二、實例分析

1.理解運算對象，探究運算方向

例1 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若A—→P=λA—→B+μA—→D，求λ+μ的最大值.

思路：如圖1，建立直角坐標系，設A（0，1），B（0，0），C（2，0）.

圖1

分析：本題系2017年全國卷3的壓軸選擇題，很多學生不知道如何下手，原因就在于沒有理解運算對象——向量，而理解運算對象是解題的第一步.向量溝通了代數、幾何和三角，是解決高中很多數學問題的有效工具.18世紀末，挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點表示復數，將平面上的點用向量表示出來，坐標法的思想應運而生，坐標法是解決向量問題的得力方法.由于缺少對向量的正確認識和理解，學生很難將思維遷移到建立坐標系上，而一旦知道建系后，學生就恍然大悟了.當然，此題除了建系解決外，還有其他很多方法，就不再贅述了.

點評：學生為什么會想不到坐標法？本質就在于運算對象理解不透.教師在教學中首先應該不遺余力地讓學生理解一個個的運算對象，理解其本質以及常用處理方法.比如，通常怎么解決垂直問題，怎么解決直線與圓相交問題等等，而不是只追求運算方法和技巧.只有理解了運算對象，才知道怎么處理對象，運算才有方向感.

2.選擇運算方法，設計運算程序

思路：（法1）設直線l方程為y=k（x+1），聯立方程，將=2轉化為x1，x2關系，利用韋達定理構建等式求解.

運算程序對比：

?

分析：學生在不斷練習解析幾何問題后，頭腦中已經形成了一個模式：“聯立、化簡、判別式、韋達定理”，但往往還是算不完整.由于解析幾何運算量大，理解了運算對象，知道運算方向，但如果運算方法沒有選好，很容易導致計算錯誤.對比方法1和方法2，方法1的運算量過大，過程比方法2煩瑣，本質在于所設的直線方程形式不同.那么學生怎么掌握運算方法的優化和選擇呢？這就是教師應該引導的地方.

點評：很多教師在解題教學中，只是感動了自己.學生只感受到教師方法的“妙”，但并沒有掌握方法的本質.什么時候設點斜式方程容易，什么時候用方法2的形式簡便，這些都是在解題教學中應該總結和突破的.如果解題教學只停留在解題，那就失去了解題教學的意義了.只有注重運算方法的優化和選擇，才能使學生思維的靈活性和深刻性得到訓練.

3.求得運算結果，反思運算道理

（1）求橢圓E的方程；

圖2

分析：本題系2017年山東高考理科壓軸題，難度比較大.但是從題目本身來講，解題思路應該很清晰，由于運算能力不夠，很多學生算不下去.現以其中兩個運算環節加以簡要分析：

1從而很容易求出取值范圍.這背后的算理就是換元法，換元法可以將煩瑣式子的化簡，給求值問題帶來很大的裨益.

點評：解題教學不是僅僅展示解題的步驟和過程，而應該重點講解步驟背后的算理，即為什么這么算？這么算的好處在哪？如果不這么算困難在哪？這也就是為什么當前很多學生能聽懂但是不會做的原因之一，因為他們只是認同這種運算步驟可行性，但是并沒有掌握算理，而算理在學生解題過程中是可以遷移應用的，這才是運算能力的核心.

三、結束語

1.多一些模塊，少一些技巧

陳永明教授認為數學解題本質是建立解題模塊和命題聯結系統.這些模塊也就是我們通常所說的解題“套路”，高考中很多題都是有程式化思維路徑的.數學運算能力作為題目的重要考查指標，該能力一定程度上可以歸結為學生頭腦中模塊的眾寡.教師在教學中應該多幫助學生建立一個個解題模塊，而不是呈現出一個個破解題目的精彩技巧，技巧不足道也.

2.多一些概括，少一些觀賞

當前很多教師不是缺少一題多解的能力，而是缺少歸納的能力.提高數學運算能力，就應該竭力將運算經驗顯性化、算法化，從而形成類型，促進圖式的建立.賈德的概括化理論認為：概括出的一般原理才能遷移.題目是做不完的，但是掌握了運算的方法，建立了解決某類問題的圖式就可以以不變應萬變.學生不是教師提供解法的觀賞者，運算能力的培養要去觀賞性，多一些體驗.

3.多一些碰撞，少一些權威

當學生出現不會算時，你會怎么處理？很多教師是采取“呈現—講解”模式，這種模式只停留在“是不是”的階段，而運算能力的培養更多的應該是“為什么是”，即背后的算理.教師的解法不是權威，學生思維的碰撞才能產生火花.課堂中培養運算能力應該“百花齊放”，在不同的思維路徑、運算方法的碰撞中去尋找運算的核心.

總之，我們不能總是從意識層面去強調運算能力的重要性，而應該把握運算能力的內涵，從內涵中尋找培養運算能力的出路.

1.洪燕君，周九詩，王尚志，鮑建生.《普通高中數學課程標準 （修訂稿）》的意見征詢——訪談張奠宙先生［J］.數學教育學報，2015.24（3）.

2.陳永明.《數學習題教學研究》［M］.上海教育出版社，2014，10.

3.金玉明.《借一道高考題談核心素養中的數學運算》［J］.中學數學（上），2016（11）.