淺談過程性教學中“彎路”的重要性

☉江蘇省張家港市塘橋高級中學 湯 鴻

學生學習數學的快樂往往源于兩個方面：一是利用數學上巧妙的結論對數學問題實行“秒殺”獲得愉悅；二是通過對數學問題的探索獲得享受，但時常走彎路，好似古人說的“曲徑通幽處”.所以作為教師在教學時也經常會遇到讓學生走“彎路”還是直接給“捷徑”的選擇，面對這種選擇，筆者結合實際教學，從教學設計、例題選擇、解題方法三個方面談談對此的認識，回答為什么高中數學教學中要“過程結論需并重，彎路捷徑兩相宜”，以期拋磚引玉.

一、探究中發現結論，“彎路”通幽處

案例1 《橢圓焦點三角形的面積問題》的教學設計.

學習目標：結合解三角形知識解決焦點三角形的面積問題.

重點、難點：理解橢圓的定義，掌握橢圓性質的靈活應用.

1.創設情境，特例激疑

師：橢圓上的點P符合怎樣的條件？

圖1

生1：|PF1|+|PF2|=10 3 .

師：條件∠F1PF2=90°的等價條件是什么？

生2：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=200.

師：如何求△F1PF2的面積？

2.分析探究，認知類比

問題2：將問題1中的∠F1PF2=90°換為∠F1PF2=60°，如圖2，結果如何？

生4：條件|PF1|+|PF2|=10不變，由∠F1PF2=60°得到|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=

圖2

師：將問題1中的∠F1PF2=90°換為∠F1PF2=∠120°，結果如何？

生5：簡單，將問題中的60°換為120°即可，我已經算出來了，S=25

師：好，我們一起來再將問題1進行變式.

問題3：去掉題中的條件∠F1PF2=90°，求△F1PF2面積的最大值.

師：非常好，現在大家回頭看看我們剛剛碰到的三種情況，有沒有什么問題？

生7：好像真有問題，∠F1PF2=120°時得到的面積超出了最大值，為什么啊？

生8：因為∠F1PF2根本就取不到120°，當P在橢圓上運動時，只有當P落在短軸端點時∠F1PF2最大（如圖3，不要求證明），而此題中最大的∠F1PF2明顯小于120°.

圖3

師：所以和生5一樣想法的同學，沒注意到這個細節，導致錯誤了.

3.完善知識，歸納引申

圖4

生9：|PF1|+|PF2|=2a，

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=|F1F2|2.

說明：通過特例的研究，要使學生從低級的理論提升到高級的理論，從已有的認知結構同化或順應成為高一級的新認識結構.為此，適時歸納總結，適當反思評估，對實現“遷移應用”層次具有重要作用.教學過程中，讓學生先“犯錯”再“糾錯”，而且學生錯得有價值，層層遞進似“彎”實“直”，方法過程與結論皆在其中，表面上的彎路卻和本質上的結論同等地位，這樣的教學效果遠比教師直接將結論告知學生要好很多.

二、訓練中提煉結論，“彎路”是階梯

案例2《和定點、定直線距離相關的軌跡問題》的教學設計.

1.問題的提出

圓錐曲線的“第二定義”，在新課程的教材中被隱去，可是通過對新教材的研讀，發現教材編者對該知識點的“戀戀不舍”之情.文2中P47例6，P59例5都是“不舍之情”的真實流露.“通過具體的例子使學生感受橢圓（雙曲線）的另一種定義方式，教學時要注意控制難度，不要對學生提出橢圓的“第二定義”的概念，更不要提出建立圓錐曲線方程的要求.”這是教材指導用書對上課教師的要求.針對這種情況，筆者采用的是題組教學法：

2.題組的呈現

題目：求滿足下列條件的點M的軌跡.

（1）點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：x=

（2）點M（x，y）與定點F（5，0）的距離和它到直線l：x=

（3）點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：x=-4的距離之比是常數1.

3.選題的依據

“過程與方法”是新課程標準的一項課程目標.這一目標變“追求學習的結果”為“強調學習的過程”，注重學生學習過程的積極體驗和科學方法的掌握與內化.這就要求教師不僅要關注學生對知識目標的認知和追求，更要關注學生個性的差異，關注學生能力的發展，注重學生對學習方法的主動探究，遵循學生身心發展的規律，充分發揮學生的潛能.選用的例題作為教材例題具有代表性和權威性，也符合比較和類比學習的過程要求，順應學生的認知規律.

說明：通過題組訓練，學生重溫了直接法求點的軌跡的方程的過程，感受了常數對軌跡的影響，在不違背《指導意見》的前提下，讓學生充分體會，同時對引出拋物線的定義也就顯得自然了.

三、考試中運用結論，“捷徑”變“效益”

在平時的教學過程中，讓學生做一些“思考”“探究”，甚至犯一些錯誤，適當地走一走“彎路”，不但對學生的意志品質有所鍛煉，也有助于學生對知識點的深入理解和透徹認識，但往往要耗費大量的時間和精力，老師在講評試卷的時候，經常會被學生追問有沒有簡單的方法.必須承認的事實，目前為止，考試是檢驗學生學習效果的最有效手段，傳授給學生一些實用的結論，以及適當的解題方法和技巧有助于提高解題效率，省時省力.

案例3 極化恒等式的引進和應用.

題目：設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足且對于邊AB上任一點，恒有的形狀為___________.

常規解法：解決向量問題一般有兩條思路：利用平面向量基本定理轉化為基底的線性運算，建系設點坐標化處理轉化為代數運算.沿著這兩條思路，學生比較容易想到的解法如下：

方法2：（利用捷徑）基本定理的方式是向量問題解決之本，但是需要花費一定的時間，適時地拋出“極化恒等式”的理論，告訴學生有一種方法能節省時間，立刻就能讓學生充滿好奇心和求知欲.極化恒等式b）2-（a-b）2］.

說明：在有限的考試時間內，如果能給學生一個行之有效的方法，不僅僅是時間上的節省，也是對學生信心的提升和考試心態的良好調節，此時選擇走“捷徑”才是明智之舉.類似極化恒等式的結論，在考試過程中經常會被應用到的常見結論有：阿波羅尼斯圓，拉格朗日定理，洛必達法則等.

在平時的數學教學過程中，教師可以以自己的經驗節省學生的學習時間，往往造成的后果是學生變成做題的工具，對結論一知半解，缺乏必要的數學素養，也偏離了數學教學的正確方向；另一方面，在緊張的考試過程中，如果平時不介紹一些思想方法、解題技巧和常用結論，會讓學生陷入大量運算之中，進而導致無法在有限的時間內完成答題，會讓學生充滿挫敗感的負面情緒.教師在教、考之間，如何安排好過程和結論的比重，是一個值得思考的問題.

1.中華人民共和國教育部·普通高中數學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.中華人民共和國教育部·普通高中課程標準實驗教科書：數學選修2-1［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.葉國芳，蔣青松.對一道高考題的通法研究［J］.中學數學教學參考，2016（12）.F