輔助線在解析幾何中的作用賞析

☉江蘇省高郵市第一中學(xué) 邱自成

在平面幾何與立體幾何中，添加輔助線是常用的解題技巧，但是在解析幾何中，人們往往習(xí)慣于用解析的方法去解決問題，而忽略了輔助線的應(yīng)用，本文嘗試著去分析輔助線在處理解析幾何問題時(shí)的作用.

一、作輔助線可以避免漏解、簡(jiǎn)化計(jì)算

（1）求橢圓的方程；

（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓C上，且對(duì)角線AC，BD均過坐標(biāo)原點(diǎn)O，若

（2）過點(diǎn)A、B作直線AB.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，如圖1所示.

圖1

小結(jié)：本題可以分別將直線AC、直線BD的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到答案.但是這種方法計(jì)算量大，過程煩瑣，通過作橢圓的輔助線，巧妙地運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想，使題目的解答變得簡(jiǎn)單易懂.同時(shí)，在將輔助線AB作出，使其顯現(xiàn)之后，很容易想到就“直線AB的斜率是否存在”的問題進(jìn)行討論，從而避免了漏解情況的發(fā)生.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長(zhǎng)度的最小值.

解析：（1）由

（2）過點(diǎn)A、B作直線AB.

圖2

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，如圖3所示.

圖3

設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）-12=

因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）·（kx2+m）=0，即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，所以（k2+1）·，整理得7m2=12（k2+1）.

所以O(shè)到直線AB的距離

綜上可知，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.

因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A2+OB2=AB2≥2OA·OB，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)取“=”號(hào).

二、作輔助線可以強(qiáng)化解題方向

圖4

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過D點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)P，M.求證：直線PM經(jīng)過一定點(diǎn).

（2）過點(diǎn)P、M作直線PM，因?yàn)镈（0，-1），所以可設(shè)DP的方程為y=kx-1（k≠0），則DM的方程為y=

小結(jié)：證明直線PM過定點(diǎn)，需要知道直線PM的方程，如果把直線PM作出來，使得直線PM的位置得以顯現(xiàn)，這就可以幫助我們強(qiáng)化“尋找求直線PM的方程所需的條件”這一方向，真正體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的互助性.F