活用解題法，巧去絕對(duì)值

☉重慶市第一中學(xué)校 黃勇慶

絕對(duì)值是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，以其為核心生成的函數(shù)問題也是高考的重點(diǎn)題型，其具有類型多樣、知識(shí)面涵蓋廣、綜合性強(qiáng)特點(diǎn).解決該類問題要從方法選取入手，靈活轉(zhuǎn)換去絕對(duì)值，實(shí)現(xiàn)抽象問題的條理化、簡(jiǎn)單化.

一、真題解析，試題點(diǎn)評(píng)

1.真題呈現(xiàn)

（1）求M；

（2）證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a+b|＜|1+ab|.

2.試題解析

分析：（1）首先去掉絕對(duì)值，根據(jù)自變量x的取值可確定f（x）為分段函數(shù)，然后進(jìn)行分類討論，確定在每一段上滿足f（x）＜2的解集，最后取并集即可.（2）證明|a+b|＜|1+ab|成立，即證明（a+b）2＜（1+ab）2，從而去掉絕對(duì)值，證明（a+b）2-（1+ab）2＜0成立，則可證原不等式成立.a，b∈M，利用第（1）問的結(jié)論即可證明.

（2）由（1）可知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，-1＜a＜1，-1＜b＜1，從而（a+b）2-（1+ab）2=a2+b2-a2b2-1=（a2-1）（1-b2）＜0，因此|a+b|＜|1+ab|.

3.試題點(diǎn)評(píng)

本題目主要考查絕對(duì)值不等式問題，解題的關(guān)鍵是去掉函數(shù)的絕對(duì)值.第（1）問采用限制定義域，將函數(shù)表示為分段函數(shù)的方式來去絕對(duì)值，然后利用分類討論的思想，分段討論求解集；第（2）問則巧妙利用平方的方式去掉絕對(duì)值.絕對(duì)值問題是常考題型，同時(shí)去絕對(duì)值的方式也多種多樣，除上述方法外，還可以利用絕對(duì)值的幾何意義、反解系數(shù)、三角不等式等方式來化解絕對(duì)值.

二、方法銜接，分段討論

利用分段討論的方式不僅可以破解單參數(shù)絕對(duì)值問題，同樣可以用于雙參數(shù)絕對(duì)值問題，其方法思想同樣是利用參數(shù)的取值范圍或限制條件將絕對(duì)值消去或合并為同一絕對(duì)值，需要注意的是分段需無重復(fù)無遺漏，逐層剖析，總結(jié)概括.

例1（2015年浙江高考數(shù)學(xué)卷）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值.

（1）略；

（2）當(dāng)a，b滿足M（a，b）≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值.

分析：由M（a，b）≤2的關(guān)系可以得出|a+b|≤3，|a-b|≤3.求|a|+|b|的最大值，可對(duì)其進(jìn)行分段討論，轉(zhuǎn)化為特定條件下的值，結(jié)合上述推導(dǎo)關(guān)系可知|a|+|b|≤3，接下來只需驗(yàn)證|a|+|b|=3，即a=2，b=-1或a=-2，b=-1時(shí)的情形即可.

解：M（a，b）≤2，可得|1+a+b|=|f（1）|≤2，|1-a+b|=|f（-1）|≤2，從而有|a+b|≤3，|a-b|≤3.

上述為涉及雙參數(shù)的絕對(duì)值問題，利用約束條件對(duì)其分段討論，達(dá)到了合并簡(jiǎn)化的目的，整個(gè)過程思路清晰，求解簡(jiǎn)潔.分段討論應(yīng)是建立在對(duì)研究對(duì)象充分分類的基礎(chǔ)之上，劃分的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)科學(xué)合理，討論過程逐級(jí)有序.

三、解法拓展，典題講解

對(duì)于涉及二次函數(shù)的絕對(duì)值問題，可對(duì)分段討論方法進(jìn)行拓展，在分段的基礎(chǔ)上采用反解系數(shù)的方式，將所求參數(shù)進(jìn)行反解，然后結(jié)合相關(guān)條件去絕對(duì)值.該種方法可有效分析函數(shù)在各個(gè)分段區(qū)間內(nèi)的取值，通過逆轉(zhuǎn)思維的方式巧妙求解.

試題：設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若|f（0）|≤1，f（1）≤1，（f-1）≤1，試證明：對(duì)于任意-1≤x≤1，有|（fx）|≤

分析：對(duì)于涉及二次函數(shù)的絕對(duì)值問題，可采用反解系數(shù)法.已知f（x），可用f（-1）、f（1）、f（0）表示參數(shù)a、b和c，然后在分段區(qū)間內(nèi)采用反解的方式表示|f（x）|，最后利用不等式縮放證明.

有效利用|f（0）|≤1，f（1）≤1，f（-1）≤1進(jìn)行反解系數(shù)，充分結(jié)合對(duì)稱軸處的函數(shù)值的絕對(duì)值比端點(diǎn)函數(shù)值的絕對(duì)值要小的特點(diǎn)達(dá)到了去絕對(duì)值的目的，解法新意，過程簡(jiǎn)潔.需要注意的是，在解題過程中要充分結(jié)合定義域進(jìn)行分段討論，力保求解準(zhǔn)確合理.

四、深入思考，教學(xué)反思

1.把握基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)綜合

近年來對(duì)于絕對(duì)值的考查趨近于綜合性，不再是傳統(tǒng)的單一考法，通常結(jié)合函數(shù)最值、函數(shù)單調(diào)性、不等式性質(zhì)等知識(shí)，但無論如何變化，基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)都是教學(xué)和學(xué)習(xí)的重點(diǎn).“夯實(shí)基礎(chǔ)、倡導(dǎo)綜合”是課堂教學(xué)的主旨，尊重學(xué)生的主體地位，從學(xué)情出發(fā)，努力幫助學(xué)生扎實(shí)基礎(chǔ)，掌握基本知識(shí)，在此基礎(chǔ)上開展綜合教學(xué)，完善知識(shí)體系，促進(jìn)知識(shí)的有效融合.綜合題是一種珍貴的教學(xué)資源，合理利用，充分講解，幫助學(xué)生建立解題的綜合思維，提升綜合能力，為未來的高考做好充分的準(zhǔn)備.

2.拓展方法，發(fā)散思維

數(shù)學(xué)是一門注重邏輯思維的學(xué)科，不僅涉及的知識(shí)點(diǎn)眾多，還存在大量解題的思想方法，以絕對(duì)值的綜合題為例，可以采用分段討論、反解系數(shù)、三角不等式等方法求解，合理選取解題方法，可以達(dá)到事半功倍的效果，因此在教學(xué)中教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性練習(xí)，通過一題多解，解法拓展等方式培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提升解題能力.中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識(shí)的傳授過程，更應(yīng)該是思想方法提升、數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的過程，幫助學(xué)生掌握解題方法，拓展解題思維應(yīng)該是課堂教學(xué)的重點(diǎn).

五、寫在最后

總之，對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)問題要將去絕對(duì)值作為解題的重點(diǎn)，從解題的策略上來講，要緊密結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)，合理選取解題方法，有效借助分段討論區(qū)間、反解系數(shù)等方式去絕對(duì)值，達(dá)到高效解題的效果.在教學(xué)中教師要注重知識(shí)的綜合講解，努力引導(dǎo)學(xué)生拓展解題方法，促進(jìn)思維的發(fā)散，從思維層面提升學(xué)生的解題能力.

1.王新兵.例談高考中對(duì)絕對(duì)值問題的考查［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（09）.

2.陳亞娟.例談高考中絕對(duì)值問題的解題策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（11）.

3.張海峰.一個(gè)問題引出的“微專題”——數(shù)形結(jié)合解絕對(duì)值不等式［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（15）.

4.孫世杰.含參絕對(duì)值函數(shù)及不等式的解法探索［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（32）.F