多方位審視問題思維方式的實踐性探討及教學啟迪

☉江蘇省江陰市華士高級中學 沈 毅

☉江蘇省江陰市華士高級中學 王文明

解析幾何這一數學學科的顯著特征就是通過坐標系用代數方法進行幾何問題的研究，平面幾何中探求平面內動點軌跡方程與運動規律的首選方法便是坐標法，其幾何性質對于動點“靈魂”的體現是其他表現形式所無法比擬的，有關動點幾何條件的諸多不同表現形式均有著不一樣的解法.下面通過解析幾何的實際例題進行多方位審視問題思維方式的探究，使學生在審題、解題及拓展的深層次探究中夯實數學基礎知識，并因此在教材回歸中獲得思想方法的感悟及思維能力的提升.

一、問題提出

筆者在“直線與圓”這一知識點的教學之后為學生提供了一道可以從多方位進行問題審視的練習，主要是為了促進學生審題、解題及拓展方面能力的提高，以下便以此案例進行審題策略、方法等動態思維的整理分析.

例1 如圖1，C1：（x+3）2+（y-1）2=4、C2：（x-4）2+（y-5）2=4是平面直角坐標系xOy中的兩個圓.

圖1

（1）若過點A（4，0）的直線l被圓C1所截的弦長為求直線l的方程；

（2）設P為平面xOy上的點，若過點P且相互垂直的無窮多對直線l1、l2分別與兩圓相交，且l1、l2被兩圓所截的弦長相等，試求滿足條件的所有點P的坐標.

二、探究試題源頭

（一）分析特點，認清立意

這是一道立足直線與圓并考查學生能力的練習題，考查的主要知識點是直線與圓的方程，以及兩者之間的位置關系.題目特點如下：

第（1）小題涉及了直線方程、圓的知識、垂徑定理，以及點到直線的距離公式等多方面的知識與內容.第（2）小題是提供給學生的探究性問題，由（1）到（2）呈現出了對學生能力考查的螺旋式上升，也顯現出了“變”和“不變”之間思維方式的運動變化，因此，此題是一條值得探究的具備多層次、多方向思維方式的典型習題.

（二）由“點”及“面”，追尋源頭

所要解決的問題即為這里所說的數學解題中的“點”，解題中所有的展“線”鋪“面”也都是圍繞這個“點”才能進行分析、拓展和延伸的.

1.分析關鍵詞，剖析內涵與本質

2.緊扣內涵，數形結合

審視問題的條件并從“形”的視角進行探究，可以得出一直線被兩等圓截得弦長相等會包含以下兩種情況：一是兩等圓圓心的連線所在的直線與該直線平行或者重合，具體表現如圖2所示；二是該直線經過兩等圓圓心連線的中點并跟兩圓相交，相切情況不包含在內，具體表現如圖3所示.

圖2

圖3

如果直線經過平面內某一點并被兩實線等圓所截弦長相等，該點P可以處于任意位置，如圖4、圖5所示.

圖4

圖5

按題意中描述，最特殊的應該是圖6中點P的位置，圖7中過點P的直線就無法完全具備本題中所要表達的全部含義.

圖6

圖7

特殊和一般的辯證關系在上述分析中展現無余，此題中隱含的數學本質也在題意深入分析與理解的同時得到顯現.

圖2無論怎樣旋轉都無法達成題中無窮多對直線的要求，但是將圖3進行如圖8所示的旋轉與變化就會得到題中滿足條件的圖形，點P及其對稱點也就找到了.

圖8

從“數”的視角對此題進行探究可以發現，相應圓心距相等是第（2）小題中所涉及的直線對所具備的特性，探尋題中各點各線所構成的直角三角形，并依據勾股定理可知點P到弦心距的垂足的距離是相等的，聯想切割線定理、解析幾何知識也可求出點P的位置.最后再聯想圓冪定理進行兩圓外離、相離情況的分析，此題所隱含的實質得到了充分的顯露.

3.統一認知，梳理思路

上述所有分析都是圍繞審題層面而進行的探究，下面對解題思路與方法進行綜合的梳理，也為解題后的探究打下基礎.從數形結合的角度（如圖9）對此題進行剖析與歸納有四點體會值得小結.

圖9

第一，由一般到特殊，過一點的相互垂直的直線對可以退化成兩直線重合這一特殊情況，并因此展開弦長相等的探究；

第二，旋轉90°能夠找到滿足題意的直線對；

第三，由圓的方程進行題中所求點的直線方程的探尋；

第四，將兩等圓退化成兩圓心進行剖析與探究，最終所求點的位置得以確定.

第（1）小題中所描述的經過點A的兩條割線，相對于第（2）小題來說正是其中的一個特殊情況，把圖9中的PC1與PC2這對直線進行旋轉，滿足題中條件的直線對也就得以實現了.

總之，經過此題的具體解析與探究，我們可以看出題中所求最終因為層層探究與退化歸結是為了數學基礎知識的呈現，新課程所要體現的理念在此題的探究中展露無疑，專家命題的良苦用心也得到了最好的體現.筆者在解題中所展現的審題、解題及探究思想也使得學生的思維層面隨之提升.

三、教學啟迪

1.注重知識轉化訓練，引領學生感悟知識關聯

教師在高中數學的教學中應首先從自身意識上對數學概念的內涵與外延加以關注與理解，并因此展開對概念的辨析以促進學生對數學本質的牢固掌握.教師在此過程中應加強對概念產生與發展過程的分析，并從多角度對數學問題中的顯化形式與內隱條件進行深層次的挖掘，數學知識之間的聯系也就能夠比較完整地展現在學生面前了，學生的思維能力在有意義的共同探究與感悟中快速提高，同時還能在經歷數學問題與困惑中提升自身的反思能力.例如，本文實例中確定所求點的位置時，直線方程、圓的方程、勾股定理、圓冪定理等在問題的分析中得到了綜合性的運用，這也是數學知識之間聯系與整合運用的具體實例，因此，教師在平時的數學教學中一定要引導學生在此方面進行知識的關聯想象、整合與運用，學生對數學概念生成的深刻感悟才能在這樣的強化分析與有意引領中得以實現.

2.加強解題前后思想方法的提煉與總結

學生在綜合性強的數學題中如果能夠比較清晰地理解題中所給條件，自然是對題目的深層次剖析已經到位的結果，將題中所給信息轉化成教材呈現的基礎知識也才能順利實現，學生在經歷了這樣的審題之后才能對解題中顯化或者隱藏的數學思想方法進行提煉、總結與思考，后續學習中問題的提出、分析及解決能力才能獲得更好的鍛煉平臺.

總之，數學解題教學最終能夠幫助學生實現全方位地審視問題的思維提升才是最有意義和價值的，學生在多視角的思維之中才能鍛煉自身的思維交會與拓展，課堂教學的活力與靈氣也才能得到最有力的激發.因此，教師在數學教學中一定要加強數學本質的思考與挖掘，并依此進行學生多視角審視問題的培養與鍛煉.F