循序漸進 以理啟智

許玉萍

[摘 要] 本文結合人教版“完全平方公式（1）”的課堂教學策略，談談如何結合學程單達成學生知識與規律的自主建構，以及如何促進學生自主學習能力的提升.

[關鍵詞] 自主學習；學程單；策略；能力

人教版“完全平方公式（1）”的過程目標是讓學生真正在思考中經歷探索完全平方公式的過程；在幾何背景的襯托下，達成對公式意義的理解和突破，即突破兩個公式的結構特征推算，并應用公式進行簡單的計算. 而整個過程，學生經歷的乘法公式是初中階段的一個難點，之所以難，是因為它以字母形式呈現，比較抽象. 為此，教師應結合學生的已有知識與技能，在深入經歷計算與思維的過程中突破原先的認知誤區，建構乘法公式，并由抽象邁向形象，由認知邁向理解，由建構邁向應用.

問題誘思，感悟新知

問題是思維的源泉，在新課導入環節，我們要善于利用學生已學的知識與技能，借助問題來引導學生學習，啟發學生思維，誘發學生思考. 于是，筆者利用任務單來啟發學生自主閱讀，并結合問題，啟發學生思維遞進，促進新知自我建構.

任務一：閱讀課本P109頁，并思考下列問題.

1. 你能用語言敘述平方差公式嗎？并用字母表示.

2. 類比“平方差公式”的探究過程，根據所學知識，計算下列各式，并說說你的發現.

（1）（b+1）2=（b+1）（b+1）=_______；

（2）（c+2）2=_______；

（3）（b-1）2=（b-1）（b-1）=_______；

（4）（m-2）2=________.

追問1：上面幾個都是形如（a±b）2的多項式乘法，積中的各項有什么特征？

追問2：你能將發現的規律用式子表示出來嗎？

追問3：你能驗證你發現的規律嗎？

【要求】 1. 先自主閱讀課本P109～110，并在關鍵詞下做記號，時間2分鐘.

2. 每位同學要能舉例說明.

3. 做好展示準備，隨機抽取，全班共同交流.

上述問題帶有明確的目的性和啟迪性，能讓學生在自主閱讀的基礎上思考、分析，并具有目的性地建構自己的認識，結合類比的數學思想開啟對新知識的思考與計算，最終在計算的基礎上建構新的知識規律. 這一系列過程能較好地結合學生的認知興趣和認知規律，幫助其感悟數學思想，經歷數學概念的建構過程，促進能力與興趣的同步提升.

合作探究，提煉新知

在學校集體受教的制度下，合作學習不僅是一種非常有效的學習形式，更是一種團隊合作競爭的有效體驗. 學生在合作探究的過程中，需運用團隊的智慧（同時伴隨競爭意識）解決所探究的問題，并在交流合作中將智慧集中，將問題顯性，將質疑突破. 在本節課的第二個教學環節中，筆者采用啟發學生合作探究的形式，讓學生在合作中探究完全平方公式，在交流中突破難點. 而教師的啟發，是通過適時的點撥來啟發學生思考，幫助學生提煉新知.

任務二：根據前面探究得出的完全平方公式，嘗試歸納.

1. （a+b）2=___________________，（a-b）2=_______________，即（○+△）2=_____________________，（○-△）2=_________________. 上述符號○、△可以表示________________，也可以表示單項式或_________________.

2. 回答問題：（1）這兩個公式有何相同點，有何不同點？

（2）你能用自己的語言敘述這兩個公式嗎？

3. 填表（理解公式的結構特點，見表1）.

在計算的前提下，教師將類比思想巧妙地滲透給學生，讓學生在類比的基礎上準確掌握兩個公式的結構特征，理解字母公式的意義與內涵，且通過問題啟發學生在團隊合作的基礎上，提升語言歸納能力和表達能力，促進學生自主學習能力的提升.

合作再究，拓展新知

學生是課堂的主體，在課堂教學過程中，我們要不斷地通過合作探究來還原學生在課堂中的主體地位，以增強學生的學習興趣. 隨著學生興趣和思維的遞進，能真正促進學生思維生長，促進學生知識與技能循序漸進. 就本節而言，筆者采用例題訓練、變式總結、問題啟迪、對接實際、幾何驗證、交流對比、總結提升等一系列活動，真正促進學生對相應知識的訓練，并促進學生學以致用能力的提升.

任務三：閱讀課本P110，歸納以下內容，并完成課本中的思考，再解決下列問題.

例1：運用完全平方公式計算.

（1）（4m+n）2；（2）y-■2；（3）（-a-b）2；（4）（b-a）2.

【要求】 每個學生獨立完成，隨機抽取四名學生上黑板展示.

變式：（1）課本P110練習1、練習2.

（2）填空：（____+2m）2=4m2+4m+1；（____+2）2=9m2+12m+____.

思考：通過上面例1中（3）（4）題的運算，請問（a-b）2與（b-a）2相等嗎？（a+b）2與（-a-b）2相等嗎？為什么？

例2：運用完全平方公式進行計算.

（1）1022；（2）992.

【要求】 每個學生獨立完成，隨機抽取兩小組匯報展示.

小結：利用完全平方公式進行計算的一般步驟可歸納如下……

將計算與類比思想相結合，啟發學生在實際訓練中歸納出利用完全平方公式計算的一般步驟，以此讓學生有對規律進行自我建構的時間與空間，讓學生的智力得以提升.

任務四：感悟“完全平方公式”的幾何驗證.

1. 一塊邊長為a米的正方形實驗田，因實際需要，將其邊長增加b米，形成四塊實驗田，以種植不同的花卉（如圖1）.endprint

（1）四塊試驗田的面積分別為_______、_______、_______、_______.

（2）用兩種形式表示實驗田的總面積.

① 從整體看，是邊長為_________的大正方形，所以S■=________；

②從部分看，其是四塊小試驗田的面積之和，所以S■=__________.

總結：通過以上探索，你發現了什么？

2. 如果將上述邊長為a的正方形實驗田的邊長減少b米，則其邊長又為多少？面積呢？

【要求】 學生分組動手拼出圖2，即用手頭的彩色紙，在原有的正方形上，拼出現在的正方形，探究其面積的不同表示方法及內在聯系，體會完全平方公式的幾何背景.

（在整個環節中，教師巡視課堂各小組的進展，及時鼓勵各小組之間要相互合作、相互交流，并適時點撥、提醒）

在這一環節，我們將已學的知識與規律通過數形結合思想再一次進行驗證和變通，將數與形再一次融為一體，將數學思想融入實際運算，將思維體驗切入問題，將問題融入思想.

圍繞問題，反思總結

有目的地進行總結與反思，不僅有利于學生自主學習能力的提升，也有助于教師教學行為的開展與挑戰，更有利于教師專業素養的提升. 因此，在這個環節中，我們有許多的細節需要通過問題引領來啟發學生進行思考與總結，以此加深學生的認知深度，反饋學生的理解效果.

1. 回顧本節課完全平方公式的探究歷程，你有什么體會？

2. 說說你是如何理解完全平方公式的.

3. 本節課主要運用了哪些數學思想方法？

4. 你還有什么困惑需要大家幫助解決嗎？

【要求】 學生先獨立思考1分鐘，然后組內交流，隨機抽取一個小組匯報，其他小組給予評價并交流不同答案.

達標檢測，反饋提升

分層式的達標檢測不僅能有效地反饋學生的學習情況，還能激勵每個學生參與，以此相對應的，我們的分層檢測更能有效滿足每個學生的需要和發展，這是公平教育的有效策略. 為此，筆者在課堂最后，通過下面的分層課堂檢測來檢驗教學效果.

【課堂檢測】

姓名______ 學號____ 得分____

A組（100分）

1. 下列各式中，計算正確的是（ ）

A. （-m-n）2=m2+2nm+n2

B. （a+2b）2=a2+2ab+4b2

C. （a2+1）2=a4+2a+1

D. （a-b）2=a2-b2

2. 化簡（a+b）2-（a-b）2的結果是（ ）

A. 0？搖？搖？搖 B. -2ab？搖？搖？搖？搖 C. 2ab？搖 ？搖？搖 D. 4ab

3. （x+y）（-x-y）的計算結果是（ ）

A. -x2-y2

B. -x2+y2？搖

C. -x2+2xy+y2

D. -x2-2xy-y2

4. 將正方形的邊長由a厘米增加6厘米，則正方形的面積增加了（ ）

A. 36平方厘米

B. 12a平方厘米

C. （36+12a）平方厘米

D. 以上都不是

5. 計算：

（1）（-2x+5）2；

（2）■x-■y2；

（3）x-■2.■

B組（20分）

1. 如果x2+ax+1是一個完全平方式，那么a的值是（ ）

A. 2 ？搖B. -2

C. ±2 ？搖D. ±1

2. 若（x+y）2-M=（x-y）2，則M為（ ）

A. 2xy ？搖B. ±2xy C. 4xy ？搖？搖？搖D. ±4xy？搖

【要求】 學生獨立完成，時間為5分鐘，組長做完后交教師批改，并批改組內其他成員的檢測，組長完成后登分.

課堂雖然到此已經結束，學生的訓練也有限，但思維的深度和廣度是無限的，因此，課堂結束后，筆者經常給學生提供一道每日拓展題（如下），以此促使學生的思維深度得到有效訓練和保障.

每日拓展：已知■+a=3，求■+a2的值.

課堂永遠是學生的課堂，而課堂中有了循序漸進的思維，學生的主體地位才能得到充分體現，所以我們在課堂教學中需要注重學生最近發展區下的引導與啟發，注重學生能力的培養與引領，注重數學思想的滲透與灌輸.endprint