向量在幾何中的應用

王寧齊

摘 要：向量作為數學中重要的內容之一，具有幾何形式和代數形式的雙重性質，也是數與形之間轉換的重要橋梁。因此，向量在幾何中具有廣泛的應用，可以說是解答幾何問題的有力工具。本文以向量的涵義為出發點，通過實例分析了向量在平面幾何、解析幾何和立體幾何這三個方面的應用，以充分顯示向量獨特的優勢。

關鍵詞：向量；幾何；應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-234-01

一、向量

向量是可以用帶箭頭的線段來表示的既具有大小又具有方向的量，其中箭頭指示的方向就是向量的方向；線段的長度就是向量的大小。

二、向量在幾何中的應用

向量是形與數的高度統一，它既具有幾何的直觀，又具有代數運算的簡便。所以，向量在幾何中的作用是非常重要的。接下來我們通過實例從平面幾何、解析幾何和立體幾何這三個方面討論下向量的應用。

（1）向量在平面幾何中的應用

利用向量解決平面幾何的問題，一般分為幾個步驟：一是將題設和結論中的條件轉化成合適的向量；二是確定相應的基底向量，并利用基底向量代替其他向量；三是利用向量的運算，比如數量積和向量的加減法來進行解題。

1.證明三點共線

例1：已知△ABC，P、Q分別是其兩邊AB、AC的中點，在BQ的延長線上取一點M，使QM=BQ，在CP的延長線上取一點N，使PN=CP。求證：M、A、N三點共線。

首先看到結論三點共線 ，我們要想到相關的結論：平面上三點A、B、C三點共線 = 。接著設 = ， = ，那么 = ， = ，由此可以得到 = = - ， = = - ，所以- = + ， =-（ + - ）=-（ - ）= - ，同樣- = + =-（ + - ）= - ，所以 = - ，也就是說 = ，因此 // ，而且它們有公共點A，所以M、A、N三點共線。

2.證明平行問題

例2：證明四邊形各中點所得到的四邊形是平行四邊形。

要證明平行四邊形，只需要證明一組對邊平行且相等，也就是它們對應的向量相等就可以。首先作一個四邊形ABCD，M、N、P、Q分別是AB、BC、CD、DA的中點，證明MNPQ是平行四邊形。接著連接AC，因為M、N分別是AB、BC的點，所以 = + = + = （ + ）= ，同理推出 = ，所以 = ，那么MN//QP且MN=QP，所以四邊形MNPQ是平行四邊形。

（2）向量在解析幾何中的應用

向量具有代數和幾何的雙重性質，數與形是結合在一起的，而解析幾何也是數與形的結合，所以向量與解析幾何之間有著密切的聯系。

1.夾角的問題

例3：已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的離心率e= ，點A與點F分別是雙曲線的左頂點與右焦點，B（0，b），求∠ABF的大小。

根據已知條件，設A（-a，0），F（c，0）， =（-a，-b）， =（c，-b），由e= = 推出c= 。 · =-ac+b2=-ac+c2-a2=a2（e2-e-1）=a2[（ ）2- -1）]=0，所以 ，即BA BF，∠ABF=90°。

2.坐標取值范圍的問題

例4：已知橢圓 + =1的焦點分別是F1，F2，M是其上的動點，當∠F1MF2是鈍角時，求點M橫坐標的取值范圍。

根據已知條件知道F1（- ，0），F2（ ，0），設M（3cosθ，2sinθ）， =（- -3cosθ，-2sinθ）， =（ -3cosθ，-2sinθ），那么 · =9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，所以得到-

（3）向量在立體幾何中的應用

立體幾何要解決的主要問題是空間圖形的大小、形狀及其位置關系等，而向量具有數形兼備的特點，與代數、幾何知識聯系緊密。利用向量解決立體幾何問題，就是建立相關的直角坐標系，把圖形中的相關點用坐標表示出來，相關的線段用向量表示出來，從而將空間問題問題轉化成為坐標運算，這樣就避開了輔助線的添加等復雜的求解，大大簡化了求解的過程。

三、總結

向量既具有代數形式的特點，又具有幾何形式的特點，所以向量與幾何，比如平面幾何、解析幾何和立體幾何之間的關系是非常緊密的。我們要樹立運用向量解題的意識，也要善于運用向量的知識去解決幾何中的各類問題，以使問題更加直觀化、簡單化。

參考文獻

[1] 曹澤紀、劉麗花，向量與立體幾何[J]，數學教學通訊2009（14） ：32-33

[2] 蔣 頡，平面幾何中的向量方法[J]，數學學習與研究2016（1） ：97