立足教材 延伸課外

秦進 陳明 張少華 代姍妮 簡萱慧

基金項目：貴州省科學技術(shù)基金項目（黔科合LH字（2015）7042號）。

摘要：教科書是根本，既要重視教材基本知識的普及，又要注重能力的提高，要對教材真正理解。本文從對教材的觀點認識、拓展內(nèi)容和思想延伸等幾個方面闡述了教材延伸是十分必要。

關(guān)鍵詞：教材;內(nèi)容;延伸

幾何內(nèi)容是中小學數(shù)學課程重要的組成部分，教育部于2001年7月正式頒布了《全日制義務教育階段數(shù)學課程標準》，在《標準》中將幾何作為重要的內(nèi)容列入到我國義務教育各階段的數(shù)學課程。義務教育階段七至九年級人教版、北師大版、華師大版等教科書中的幾何內(nèi)容比較接近，人教版安排在第四、第五、第六、第七、第十一章等共十三章。教科書中幾何內(nèi)容主要涉及圖形的認識初步、平面直角坐標系、勾股定理、投影與視圖等。教師應該站在高度來審視教材，根據(jù)課程的需求對教材進行分析，特別是對教材深入理解認識，延伸拓展。以知識重構(gòu)為切入點，體驗學習數(shù)學內(nèi)容的過程，運用“高觀點”分析和處理中學數(shù)學問題，有利于提升教師的專業(yè)能力。

一、 觀點認識

人教版教科書是按照“簡單說理”“說理”“推理”“用符號表示推理”等不同層次，分階段逐步加深安排的。通過活動認識圖形，十分重視學生的動手操作和參與，教育部審定（2013）人教版教科書七年級上第四章圖形的初步認識，注重利用實物和幾何模型進行教學，采用實物入手，展示多彩的圖形世界與幾何知識的密切聯(lián)系，第119頁，筆尖可以看作一個點，這個點在紙上運動時形成線，節(jié)日的焰火也可以看成有點運動而成的，筆尖作為一個點運動成圓（圖1），汽車雨刮器在擋風玻璃上畫一個扇面（圖2）。點動成線，線動成面的角度進一步認識幾何基本圖形，幾何圖形可看成是點的集合點，幾何圖形也可以理解為由線組成，點和線兩者是相互對應的，點為元素的幾何觀點和線為元素的幾何觀點是統(tǒng)一的。平面可以看成點為元素的集合，也可以看成直線為元素的集合;圓可以看成由點構(gòu)成，也可以看成由直線構(gòu)成，如圖3所示，線包絡(luò)成圓。可以以點為元素來表達幾何對象，事實上，我們完全可以以直線為元素來表達幾何對象，幾何圖形看成是直線的集合。

1831年，普呂克在《解析幾何論》第二部分所述，將點坐標與線坐標進行類比“對偶”的方法建立解析幾何結(jié)構(gòu)，線幾何的觀點在射影幾何中體現(xiàn)十分顯著。點和直線的地位是平等！點有方程，直線有坐標。平面可以看成直線為元素組成;錐面是由一簇直線構(gòu)成;單葉雙曲面、拋物雙曲面以及柱面等直紋面實質(zhì)上是由直線運動生成的曲面;二次曲線看作點的軌跡，也可以看作直線的包絡(luò)。《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（蘇教版）選修21中“探究·拓展”內(nèi)容就體現(xiàn)了線幾何的觀點，引進齊次線坐標，打破了中學解析幾何點與數(shù)組一一對應的坐標觀點，將以點為基本元素的點幾何學轉(zhuǎn)化為直線為元素的幾何學。平面上的基本元素直線與點，它們之間的關(guān)系是結(jié)合關(guān)系。滿足三元二次方程的點集合稱為二次曲線（二階曲線），滿足三元二次方程的直線集合稱為二次曲線（二曲級線），二次曲線是成射影對應的點列對應點的聯(lián)線的集合。這樣高度概括的認識，抓住事物的本質(zhì)，體會數(shù)學的觀點，打開認識的視野。

二、 思想延伸

從數(shù)學文化的角度來說，培養(yǎng)數(shù)學的思想和方法是極為重要的。變與不變的數(shù)學思想和方法就是其中之一，可以說它貫穿義務教育階段教科書的始終。教育部審定（2013）人教版教科書八年級下第十七章勾股定理，趙爽弦圖（圖4），趙爽根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形（紅色）可以圍成一個大的正方形，中空部分是個小正方形（黃色），通過對圖形的切割，拼接，巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.所謂的“出入相補”原理。此方法嚴謹而簡潔，這種證明的方法被一些數(shù)學家稱為“最省力的證法”，證明過程顯示了圖形間的相互關(guān)系，特別是體現(xiàn)了變與不變的數(shù)學思想。劉徽注《九章算術(shù)》時，也給了證明，留下注文：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也，合成弦之冪，開方除之，即弦也。”由于劉徽使用的弦圖已經(jīng)失傳，后世數(shù)學家只能根據(jù)這段注文進行多種解釋與推測，清代數(shù)學家李潢的補圖簡單明了，接近劉徽之意。“出入相補，各從其類”，這個原理是說一個平面圖形從一處移到另一處，面積不變，形狀可能發(fā)生變化，體現(xiàn)了變與不變的數(shù)學思想。縱觀勾股定理證明的歐幾里得證明、美國總統(tǒng)Garfield證明、辛卜松證明、梅文鼎證明、楊作玫證明、李銳證明等近20種方法都體現(xiàn)了變與不變的數(shù)學思想。

幾何變換用近代數(shù)學的觀點來看就是“幾何運算”，幾何變換把一個幾何圖形變?yōu)榱硪粋€幾何圖形，什么變了？什么沒有變？共同的屬性是變中有不變！教科書九年級下第二十九章投影，涉及平行投影與中心投影等。陽光透過長方形玻璃窗平行投影到地面上，地面上出現(xiàn)一個明亮的四邊形（如圖5），我們應該關(guān)注這個幾何變換中的不變量與不變性質(zhì);如圖6，此中心投影將三角形變?yōu)槿切危螤顩]有發(fā)生變化，三角形還是三角形，但是三角形的角的大小，邊的長度可能發(fā)生變化了。用變換群去研究相應的幾何學，闡述了幾何學的本質(zhì)是變中有不變，既要抓不變量與不變性質(zhì)的“不變”，又要抓量與性質(zhì)的“變”。多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有關(guān)，而多邊形的外角和恒等于360度;又如，等底等高的兩個三角形面積相等;等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和是常數(shù)（定值）等等均蘊含變與不變的數(shù)學思想。

三、 內(nèi)容拓展

人教版教科書第二十四章圓安排了探索四點共圓的條件，利用探究過程，歸納出證明四點共圓的方法主要有四種：一是如果四點到一定點的距離相等，那么這四點共圓;二是四邊形的一組對角互補，那么這四邊形的四個頂點共圓;三是如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這四邊形的四個頂點共圓;四是如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等，且在公共邊的同側(cè)兩個三角形的四個頂點共圓，通過實踐探索對教材內(nèi)容進行拓展。

第十三章中的軸對稱中的最短路線問題，可以延伸到作圖問題，拓展到對稱變換、平移變換以及旋轉(zhuǎn)變換等進行理解，體會對應點、對應線段、對應圖形之間的關(guān)系。如圖7，左腳印和右腳印中鏈接一對對應點的線段被對稱軸垂直平分。可以理解為右腳印可以通過左腳印經(jīng)過對稱變換得到的。其中，P點變?yōu)镻′，這一對應點連線段被l平分。第二十七章相似中涉及長度的測量，測量離不開單位。測量長度的常用工具有游標卡尺、鋼卷尺、木尺等，如果測量的精度要求不高，可以用步長、肘、拃（如圖8）來測量距離。測量依賴于測量工具，歸根結(jié)底緊緊依賴于單位！數(shù)軸的三要素坐標原點、正方向以及長度單位，單位取得不一樣，坐標不一樣，直角坐標系亦如此。直角坐標系經(jīng)過仿射變換后得到新的坐標系——仿射射坐標系的x軸與y軸的單位長度也未必一樣。把一個正三角形分為全等的四個小正三角形，去掉中間一個正三角形，對剩下的3個小正三角形再分別重復以上做法……將這種做法繼續(xù)下去，就能得到小格子越來越多謝爾賓斯基地毯（如圖9）。這個圖的大大小小的三角形之間關(guān)系是相似，局部與整體之間是自相似的關(guān)系。

圖7腳印圖8手的拃圖9Sierpinsk墊片

這種現(xiàn)象廣泛存在，自然界大多數(shù)的圖形都是十分復雜而且不規(guī)則的。例如，海岸線、樹木、閃電、海浪等等，它們在歐氏幾何領(lǐng)域不可度量，而分數(shù)維恰好反映了這種不規(guī)則性和復雜性。從傳統(tǒng)的幾何學出發(fā)，用什么樣的尺子都很難測量很復雜的幾何對象。從分形幾何學出發(fā)，我們用一個看起來很復雜的測量單位去測量幾何對象，所得的結(jié)果卻十分簡單。

用好教材，必須真正理解教材，把握內(nèi)容之間的聯(lián)系，從另外一個視角來審視教材，注重觀點認識、拓展內(nèi)容和思想延伸顯得尤為必要。

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作者簡介：

秦進，陳明，張少華，代姍妮，貴州省遵義市，遵義師范學院;

簡萱慧，貴州省遵義市，遵義市第十六中學。