巧用旋轉法妙解特殊三角形

摘要：特殊三角形一直是初中數學研究的重點，它們除了具有普通三角形的所有性質外，還具有本身的特殊性質，在中考幾何中占有重要的位置。特殊三角形常見的輔助線中有旋轉，旋轉被廣泛用于解決一些較難的幾何問題，大多時候可以做到一轉解千愁。為學生們更好的掌握好這一知識點，本文結合2018各地中考題中以特殊三角形為背景的例題加以說明。

關鍵詞：等邊三角形;等腰直角三角形;手拉手全等;旋轉

一、 相關模型

模型一等邊三角形類型

題目中如果有出現等邊三角形，那么可以考慮把某一個圖形繞已知圖形中的一個固定的點旋轉60°，使得旋轉后重新構造一個等邊三角形。如下圖（1），圖（2），在等邊△ABC中，點P是△ABC內任意一點，在公共平面，把△ABP繞點A按逆時針旋轉60°，滿足旋轉前的線段AB旋轉后同線段AC重合。通過圖（1）到圖（2）的變化后，此時△PAP′也是等邊三角形，則PP′=PA，得到圖（1）中的不在同一個三角形中的三條線段PA，PB，PC集中于圖（2）中的同一個△PCP′中。

圖（1）圖（2）

模型二等腰直角三角形類型

題目中如果有出現等腰直角三角形，那么可以考慮把某一個圖形繞已知圖形中的某個固定的點旋轉90°，使得旋轉后的圖形中出現一個新等腰三角形。如下圖（3），圖（4），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。點P為Rt△ABC內任意一點，在公共平面內將△ABP繞點A按逆時針旋轉90°，使得旋轉前的線段AB旋轉后與線段AC重合。經過圖（3）到圖（4）的旋轉變化后，則AP′=AP，得到圖（4）中△PAP′為等腰直角三角形。

圖（3）圖（4）

模型三旋轉構造手拉手全等類型

如果已知題目中提到有公共端點的相等線段（特殊情況：等腰三角形），又已知量比較分散，則可以考慮旋轉，旋轉角應該定為相等線段的夾角，構造手拉手全等三角形。如下圖（5），在△ABC中，CA=CB。線段AB上有一點D，CD=CE，∠ACB=∠DCE，連接BE。因為CA=CB，∠ACB=∠DCE，CD=CE，又有共同的端點C，所以△CBE可以看做是由△ACD繞點C旋轉∠ACB得來，此模型為手拉手全等模型。

圖（5）

二、 例題解析

【例1】（2018·山東淄博）如右圖，P為等邊△ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則等邊△ABC的面積為（）

A. 9+2534B. 9+2532

C. 18+2532D. 18+253

簡析：要求等邊三角形的面積，方法一：先求等邊三角形的一邊長，如：AB的長度，然后再利用S等邊△ABC=3AB24即可;方法二：可以用分割法，先分別求出S△PAB、S△PAC、S△PBC，然后再求出它們的和即為等邊△ABC的面積。已知條件只告訴我們PA，PB，PC的長度，則用方法二求S△PAB、S△PAC、S△PBC的面積不好求，故我們考慮用方法一。因為已知條件PA，PB，PC不在同一個三角形中，又△ABC是等邊三角形，所以考慮用模型一的方法。將△BCP繞點B逆時針旋轉60°得△ABE，根據旋轉的性質得BE=BP=4，AE=CP=5，∠EBP=60°，則△BEP為等邊三角形，得到EP=BP=4，∠BPE=60°。延長BP，過點A作AF⊥BP于點F。在△AEP中，AE=5，EP=4，AP=3，可得△AEP為直角三角形，且∠APE=90°，則可得到∠APF=30°。在Rt△AFP中可得AF，PF的長度，從而可以得到BF的長度，那么在Rt△ABF中可求得AB的長度，進而求得三角形△ABC的面積。

解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC，∴繞點B把△BCP按逆時針旋轉60°得到△BAE，連EP，并延長BP，過定點A作AF⊥BP于點F，故BE=BP=4，AE=CP=5，∠EBP=60°，∴△BEP為等邊三角形，∴EP=BP=4，∠BPE=60°。在△AEP中，AE=5，EP=4，AP=3，∴AE2=EP2+AP2，∴△AEP為直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APF=180°-∠APE-∠BPE=180°-90°-60°=30°。在Rt△APF中，∵∠APF=30°，∴AF=12AP=32，∴PF=AP2-AF2=32-322=274=332。在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=322+4+3322=25+123，∴S等邊△ABC=3AB24=3425+123=9+2534。故選：A。

點評：本題中，因為已知條件中所給的三個已知量PA，PB，PC的長度，顯得比較分散，沒有在同一個圖形中，與所求等邊三角形的面積沒有直接關系，所以解決本題的關鍵是對已知圖形進行整合。把已知條件中三條線段PA，PB，PC轉移到同一個圖形中，又因為已知圖形是等邊三角形，這時常常將已知圖中的某個圖形繞一定點旋轉60°后將分散的已知量集中在同一個圖形△AEP中，充分利用了旋轉前后的不變量，使已知圖形中的角、線段充分得到利用，之后利用圖形中的特殊邊角關系使問題得以解決。

【例2】（2018·四川綿陽）如右圖，△ABC和△CDE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°。△ABC的頂點A在△CDE的斜邊DE上，若AE=2，AD=6，則兩三角形重疊部分的面積為（）

A. 2B. 3-2C. 3-1D. 3-3

簡析：要求重疊部分的面積，方法一：可以構造輔助線用三角形的面積公式或割補法;方法二：根據相似三角形的性質求面積法。已知條件只告訴我們AE，AD的長度，則用方法一進入死胡同，所以我們考慮用方法二。因為已知條件AE，AD在同一個三角形中的同一條邊上，發揮不了作用，又△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，所以考慮用模型二的旋轉法。連接BD，過點C作CH⊥DE，根據∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，得∠ADC=∠BAC=45°，再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE，又因為AC=BC，CD=CE，所以根據SAS得△BCD≌△ACE。根據全等三角形的性質知BD=AE=2，∠BDC=∠E=45°，從而得∠ADB=90°。在 Rt△ABD 中，根據勾股定理得AB=22，從而根據勾股定理的逆定理得AC=BC=2，CD=CE=1+3。根據等面積法SRt△CDE=12DE×CH=12CD×CE，從這個式可以求出CH=2+62，可得S△ACD=3+32。因為∠ADC=∠BAC=45°，∠ACO=∠ACD，得△CAO∽△CDA，故由面積比等于相似比的平方從而求得題目中兩個三角形重疊部分的面積。

解：連接BD，過點C作CH⊥DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，

∴∠DCB=∠ACE，又∵AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE，

∴BD=AE=2，∠BDC=∠E=45°，

∴∠ADB=∠BDC+∠ADC=45°+45°=90°。

在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2=（2）2+（6）2=8。

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=8，∴2AC2=8，∴AC=BC=2。

在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2=（2+6）2，∵CE=CD，

∴CE=CD=2+62=1+3。

∵SRt△CDE=SRt△CDE，

∴12DE×CH=12CD×CE，∴CH=CD×CEDE=3+122+6=2+62，

∴S△ACD=12AD×CH=12×6×2+62=3+32。

∵△ABC和△CDE中AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ADC=∠BAC=45°，又∵∠ACO=∠ACD，∴△CAO∽△CDA。

∴S△ACOS△DCA=ACCD2，∴S△ACO3+32=21+32，∴S△ACO=3-3。則答案為D。

點評：在本題中，因為已知條件中所給的已知量AE，AD在同一個三角形中的同一條邊上，與所求陰影△ACO的面積沒有直接關系，所以解決本題的關鍵是對已知圖形進行整合，把已知條件轉移到同一個圖形中，充分利用了旋轉前后的不變量，使問題得到解決。

【例3】已知：如右圖，△ABC是等邊三角形且各邊長為1，△BCD是等腰三角形，且BD=CD，頂角（∠BDC）為120°，∠MDN=60°，點M交于AB邊上，點N交于AC邊上。求證：△AMN的周長等于2。

簡析：要求證△AMN的周長等于2，而已知條件告訴長度的只有△ABC是邊長為1的等邊三角形，所以需要證明它等于等邊△ABC的兩邊的長，只需證MN=BM+CN。采用旋轉構造全等的方法來解決。

證明：把△DBM繞點D順時針方向旋轉120°，使得點B與點C重合，點M落在點M′的位置，∴∠MDM′=120°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°。

∵△BCD是頂角（∠BDC）為120°的等腰三角形，∴∠DCB=∠DBC=30°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+30°=90°，同理∠DBM=90°。

∵△CDM′是由△BDM旋轉120°得來，

∴∠DCM′=∠DBM=90°，CM′=BM，DM′=DM。

∴∠ACD+∠DCM′=90°+90°=180°，∴M′，C，N三點共線。∵∠MDN=60°，∴∠M′DN=∠MDM′-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠M′DN=∠MDN=60°。

∵DN=DN，DM=DM′，∴△DMN≌△DM′N。

∴MN=M′N=M′C+CN=BM+CN。

∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC=1+1=2。

點評：在這道題目中，已知長度的量只有△ABC的各邊長為1，所以需要證明△AMN的周長等于等邊△ABC的兩邊的長，故只需證MN=BM+CN。又BM，CN沒有在同一條直線上，所以解決本題的關鍵是對已知圖形進行旋轉整合，把已知條件BM，CN轉移到同一條直線上，充分利用了旋轉前后的不變量，得到BM+CN=M′N。要證MN=M′N，根據之前的分析由全等可以證得，使得問題得到解決。

三、 總結

幾何中出現下列幾種圖形，常考慮用旋轉變換來做題。

1. 圖形中如果出現等邊三角形，則可以考慮把已知的某一個圖形旋轉60°，使得比較分散的一些未知量盡量放在同一個圖形中;

2. 圖形中如果出現等腰直角三角形（或正方形），則可以考慮把已知題中的某一個圖形旋轉90°，使得比較分散的一些未知量盡量放在同一個圖形中;

3. 已知圖中如果有公共端點相等的線段（特例：等腰三角形），則應該考慮把已知題中的某一個圖形旋轉角定為相等線段的夾角，使得比較分散的一些未知量盡量放在同一個圖形中。

參考文獻：

[1]【美】G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]陳曉芳.淺析中考中的三大類特殊圖形旋轉問題歸類剖析[J].中學數學，2016（1）.

作者簡介：

張春花，福建省莆田市，福建省莆田市莆田二中。