分類討論思想在圓與圓位置關系中的應用

摘要：蘇教版必修二中討論了兩圓的位置關系，本文利用分類討論的思想對三圓位置關系進行了系統討論，按照交點個數從零到六共七種情況分別討論，得到了三圓的45種位置關系，從而提高了學生對數學的學習興趣，在整個討論過程中，體現了學生對數學知識的極大渴求欲望。

關鍵詞：分類討論;三圓;相切;相交;相離

蘇教版必修二§2.2.3節《圓與圓的位置關系》中主要講述了兩個圓之間的五種位置關系，并且重點討論了兩圓相切這種情況，這也是教學與考試的重點與難點所在。在教學過程中為了拓寬學生的思路以及培養學生分類討論的思想，我引導學生探討了三圓之間的位置關系。

在討論兩圓位置關系時，我們把其中一個圓固定，另一個圓在發生位置變化的過程中產生了五種不同的位置關系，利用模具演示使學生在直觀上對這種關系進行理解，在探討三圓位置關系時，我引導學生進行類比思考，我們可以先固定其中的兩個圓，然后讓第三個圓在變化過程中形成各種不同的位置關系。

因為三圓的位置關系比較復雜，變化比較多，我首先讓大家獨立思考兩分鐘，然后討論一下看怎么樣才能把三圓的位置關系找全，做到不重不漏。幾分鐘后，一個學生站起來說，我們可以利用切、交、離——即兩兩之間的位置關系來進行分類討論，把每一類對應的都找出來，大家都贊同他的說法。我說很好，我們可以按照這種方法進行分類，那么還有其他的分類方法嗎？

另一位同學說：我們可以利用三圓之間的交點個數進行分類，把每一類對應的都找出來就可以了。其他同學紛紛站起來說出很多種分類方法。

最后大家一致同意以交點個數作為分類的依據進行討論，為了節約時間，我讓每一個小組探討一種情況，即第一組討論交點為零的情況，第二組探討交點為一個的情況……以此類推。下面是我們探討出的三圓位置關系：

一、 交點為零的情況，共有四種

二、 交點為一個的情況共有九種

三、 交點為兩個的情況，共有十種

在討論這種情況的時候有同學提出其中兩圓外切，第三個圓過切點與其中一個相交，與另外一個相切這種情況（如下圖1），剛開始有很多同學附和說這也是兩個交點的一種情況，這時候另一個同學站起來說：這種情況是不存在的，因為兩圓相切時兩圓圓心與切點在同一條直線上，所以圖1所畫出來的并不正確，剛才那位同學所說的應該是圖2這種情況，這時候有三個交點。

四、 交點為三個的情況，共有八種

通過本節課的學習，同學們表現了對學習的極大熱情與對知識的極大渴求。同學們對三圓之間的位置關系有了一個最直觀、最全面的了解，對分類討論思想有了極深的理解和掌握。同時也充分體現了同學的合作互助能力。通過這節課的學習，我認為在今后的教學過程中應該多增加些這類探索、發散性題目讓學生去思考，培養學生思維能力，這也是我們數學教學的基本思想所在，數學就是要培養人們的邏輯思維能力，從而使人們的思維更加縝密。

參考文獻：

[1]仇炳生.普通高中課程標準實驗教科書（蘇教版）《數學2（必修）》[M].南京：江蘇教育出版社，2017.

作者簡介：

陳星，江蘇省宿遷市，江蘇省泗陽中學。