淺談二次根式的運算教學

摘要：二次根式概念的理解辨析;二次根式運算法則及公式;運算中常見錯誤的分析;如何提高二次根式運算能力。

關鍵詞：二次根式;運算法則及公式;常見錯誤;運算能力

在初中數學教學中，師生們往往會淡化學生的計算問題，甚至認為計算錯誤僅僅是粗心、失誤，其實上了中學以后，計算能力的培養是數學能力要求不可或缺的重要部分，特別是二次根式的運算，因數域拓展到實數，很多學生會停留在小學中的整數或分數運算模式中，沒有將數的運算提升到“式”的運算模型，導致運算過程的種種錯誤，如果不及時糾正引導，對以后的分式運算、因式分解、解方程或不等式等都產生直接的影響，那么如何過好二次根式的運算關呢？

一、 重視概念的理解辨析

數學概念定義作為知識模塊的基礎，在教學過程中務必重視，分析到位，辨析清楚，后面的運算法則、公式才能得以引出應用。在與二次根式運算相關的概念中，有兩個特別關鍵，一個是“平方根”，一個是“最簡二次根式”：若一個數x，它的平方等于a，則x叫a的平方根，記作x=±a。注意兩點：A. 它與平方是逆運算，但不是一對一的逆運算，即“一個數的平方的平方根不一定是本身，一個數的平方根的平方是原數！”剛開始學習學生對這一關系不好理解，可以舉個例子：小明的父親的兒子不一定是小明（可能是小明的兄弟）;張三的兒子的父親一定是張三！B. 它與算術平方根有區別，也就是±a與a的區別，算術平方根概念中是“一個正數x”，結果就是a。一個典型的例子：4的平方根是。（是±2，而不是2）

最簡二次根式是指被開方數不含分母（其實還應指出分母不含根式），也不含能開得盡方的因數或因式的二次根式。有關二次根式的化簡運算首先應將它們化為最簡二次根式，而是否最簡不是看形式結構，而是上述概念中的兩個要求，例如12、15貌似簡潔但不是最簡。若遇到形如12+13的運算必須將兩個數都化為最簡二次根式，否則無法進行求和。

二、 熟練掌握二次根式的運算法則及公式

A. 乘除運算法（用字母表示，下同）：a·b=ab，（a≥0，b≥0），ab=ab，（a≥0，b>0）。這兩個法則是通過驗算得到的，學生接受起來不難，但是不少同學會想當然地認為a+b=a+b或a-b=a-b！這是錯誤的！可以通過多舉一些反例如：4+9≠4+9加以說明。另外，還要注意a、b的取值范圍，特別是從左往右運算的時候。

B. 加減運算法：ma±na=（m±n）a。二次根式的加減運算類似于合并同類項，但要求先化簡，只有化為最簡二次根式后，被開方數相同，才能進行加減合并。教師教學過程中必須把A、B兩種運算做全面對比，還要與整式的加減運算法則進行對比，才能更好掌握運算法則，防止運算錯誤。

C. 乘方開方運算法則：（a）2=a，a2=|a|。第一個式子可直接由概念引出，結合例子如（4）2=4，（7）2=7等理解。第二個式子特別難！學生很容易誤認為a2=a。應通過多幾個正反例子增加印象，并把例子適當變形升級，如52=5;（-5）2=5;（x2+1）2=x2+1，（π-4）2=|π-4|=4-π。兩個乘法公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，（a+b）（a-b）=a2-b2對于二次根式的化簡計算幫助很大，必須熟練掌握！例如化簡13-2，必須利用平方差公式將分子分母同乘3+2，才能化為最簡：13-2=3+2（3-2）（3+2）=3+23-4=-3-2。而對于形如（25+2）2的運算，應注意利用公式當成“式子”展開進行：（25+2）2=（25）2+2×25×2+（2）2=20+410+2=22+410。

三、 常見運算錯誤舉例分析

在教學過程中發現，學生在進行二次根式運算過程中出現的錯誤情況五花八門，簡直是應有盡有、匪夷所思！但仔細分析可以發現，主要是概念、法則理解掌握不牢，或與其他法則混淆。例如：

①2+3=5，錯誤原因：與2×3=6混，運算法則沒理解。

②57-37=2，錯誤原因：合并同類項運算不過關，丟失了7，它與5a-3a的運算是類似的。

③（7-2）2=72-22=7-2=5，錯誤原因：一方面表達不規范，（7）2，（2）2應帶括號;另一方面，乘法公式運用錯誤，漏了中間項。

④116=18，錯誤原因：概念不清或誤以為82=16。

⑤9的平方根是。錯誤答案一：3;錯誤原因是直接求9=3。錯誤答案二：±3，錯誤原因是沒有將9的平方根與9的平方根區別開來。

⑥323+12-2=2+23-2=2，錯誤原因：在化簡323時，將根號內外的3進行約分了！

四、 如何提高二次根式的運算能力

針對以上學生出現的二次根式運算問題，我們在教學過程中要注意運算能力（準確程度、合理程度、簡捷程度及快慢程度）的培養！讓學生準確理解和牢固掌握二次根式運算所需的概念、公式、法則，注意例題的典型示范，明確解題的目標、計算的步驟及其依據。通過典型示范比較順利的由理解知識，過渡到應用知識，從而形成運算能力。并時刻注意與其他知識點的對比，如與整式運算、與有理數運算的對比。當然，加強二次根式的運算練習是必不可少的，任何能力都是在一定的實踐活動中形成和發展起來的，為了有效提高學生二次根式運算能力就必須加強練習，我們在設置練習時要有目的性、系統性、典型性。通過錯題重做、一題多變、一題多改，培養運算的準確性、熟練性、靈活性，以題組訓練形式培養學生運算過程中思維的深刻性，那么就一定能讓學生在二次根式運算能力方面有一個全面的提高。

作者簡介：

沈明俊，福建省漳州市，福建省詔安第一中學。