“否命題”等于“命題的否定”?

張圣官

現實學習中，不少同學常常把“否命題”與“命題的否定”混為一談．其實這兩個概念是在不同的層面上研究問題時所出現的．“否命題”出現在“命題及其關系”中，指的是當原有命題（即原命題）為“若p則q”形式時，同時否定它的條件和結論得到“若┐p則┐q（讀作若非p則非q）”，這稱為原命題的否命題；而“命題的否定”是指將命題p（通常是較簡單的命題）直接進行否定得到┐p，也即是直接得到命題的反面．

1.要寫出否命題，首先要將原命題改寫成“若p則q”形式

例1已知命題“全等三角形一定相似”，試寫出它的否命題，并判斷這兩個命題的真假．

解將原命題改寫為：若兩個三角形全等，則它們一定相似．其否命題即為：若兩個三角形不全等，則它們一定不相似．原命題為真，否命題為假．

點評將原命題首先改寫成“若p則q”形式，是正確寫出否命題的關鍵．當然還要注意這里的“一定”是語氣助詞而不是謂語動詞，有的同學會寫成：若兩個三角形不全等，則它們不一定相似．這樣寫就錯了！違背了常用邏輯的基本規則．事實上，在處理命題中含有“一定”、“必然”等詞語的問題時有一個辦法是切實可行的，這就是將它們去掉，因為它們僅僅是加強語氣而已．

還有一點需要強調的是，原命題為真（假）時，否命題的真假性并不確定，即否命題可能為真也可能為假，這要根據具體的問題結論來確定．在四種命題關系中，原命題與逆否命題真假性相同，逆命題與否命題真假性相同．

例2寫出命題p：“若a，b，c∈R，ac＜0，則方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根”的否命題．

分析本題中對“p”的理解很關鍵，“a，b，c∈R”必須當做前提條件才行，而不能對它進行否定．否命題應該寫成“若a，b，c∈R，ac≥0，則方程ax2＋bx＋c＝0沒有兩個不相等的實數根”．

如果命題中含有邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”時，那么在寫“┐p”和“┐q”時要注意利用等價命題的原理和規律．

例3寫出命題“若ab＝0，則a＝0或b＝0”的否命題，并判斷兩個命題的真假．

分析原命題是真命題，逆命題是真命題，因此寫出的否命題必須也為真命題才行．否命題應該為“若ab≠0，則a≠0且b≠0”，假如寫成“若ab≠0，則a≠0或b≠0”的話就錯了．

2.要寫出命題的否定，關鍵是要找到原有命題中省略的量詞

命題的否定是對命題p進行直接否定，通常針對的命題p是較為簡單的命題．例如要對命題p：3＞2進行否定，當然┐p就是“3不大于2”，也即是“3≤2”．再如，請寫出命題“實數的絕對值是正數”的否定，答案是“實數的絕對值不是正數”還是“不是實數的絕對值不是正數”呢？第二個邏輯上發生了混亂，這可不是對命題進行否定，是不對的；第一個從邏輯關系上來講是對的，但寫法不太規范．究竟該怎樣才好呢？較為科學的做法是先找到原有命題中省略的量詞“任意”或“存在”．具體到這道題而言，命題“實數的絕對值是正數”是指“任意實數的絕對值是正數”還是指“存在實數的絕對值是正數”？顯然指的是前者，這是一個全稱命題，即p：“任意實數的絕對值都是正數”，那么它的否定應該是一個存在性命題，┐p：“存在一個實數，它的絕對值不是正數”．

寫命題p的否定形式，不能一概在關鍵詞前加“不”，而要搞清這個命題研究的對象是個體還是全體．如果研究的對象是個體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”即可．如果命題研究的對象不是一個個體，就不能這樣簡單地處理了，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題．因此，在表述一個命題的否定形式的時候，不僅“是”與“不是”要發生變化，有關命題的關鍵詞也應發生相應的變化，建議大家將常見關鍵詞及其否定形式做個統計分類，制成表格，以加深印象．

命題p與它的否定┐p的真假性一定相反，即命題p為真，┐p一定為假；命題p為假，┐p一定為真．利用其中的邏輯關系，有時可以簡化解題過程．

例4已知命題p：“?x∈R，ax2－2ax－3＞0”是假命題，求實數a的取值范圍．

分析本題若直接求解則較為繁難，由于該命題是存在性命題，因此依據上述全稱命題與存在性命題的關系，將該命題的否定形式寫出，依據 “命題真，其否定假；命題假，其否定真”可推知其否定形式必為真命題，從而求出滿足題設要求的實數a的取值范圍．

解因命題p：?x∈R，ax2－2ax－3＞0的否定形式為┐p：?x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知命題┐p是真命題．事實上，當a＝0時，對任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；當a≠0時，借助二次函數的圖象，數形結合，很容易知道：不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等價條件是a＜0且其判別式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a＜0．綜合以上兩種情形可知：┐p為真命題時，所求實數a的取值范圍是－3≤a≤0，即命題p是假命題時，所求實數a的取值范圍是［－3，0］．

點評這里巧妙地借助全稱命題與存在性命題的關系及真假的判定，將較為困難的問題等價轉化為“在一個不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的條件下，求實數a的取值范圍”，使問題得到了巧妙的化歸與轉化，達到了化難為易，避繁就簡的目的．

3.當“否命題”與“命題的否定”碰面時，關鍵是各行其道

“否命題”與“命題的否定”這兩個概念是在不同的層面上研究問題時所出現的，它們一般是不會碰面的．但是也需要注意一些特殊的情況下，既需要寫出一個命題的否命題，也需要對它進行否定．這時怎么辦好呢？一言以蔽之，各行其道就行了．

例5已知命題“對頂角相等”，試寫出它的否命題以及該命題的否定，并分別判斷它們的真假性．

分析寫否命題前，先將原命題改為“若p則q”的形式．命題“對頂角相等”怎么表述呢？“若兩個角是對頂角，則它們相等”，這樣否命題寫成“若兩個角不是對頂角，則它們不相等”就行了；要對它進行否定之前，先看看原命題可以加上什么量詞，是“任意”還是“存在”？發現命題“對頂角相等”是全稱命題，可以改為“任意兩個對頂角相等”，這樣它的否定是存在性命題，寫成“存在兩個對頂角，它們不相等”就行了．在該題中，否命題以及命題的否定均為假命題．

例6已知命題“若x≥1，則x2≥1”，試寫出它的否命題以及該命題的否定，并分別判斷它們的真假性．

分析否命題為“若x＜1，則x2＜1”，是假命題；要對它進行否定之前，先將原命題變為“?x≥1，x2≥1”，這樣它的否定即為“?x≥1，使x2＜1”，該命題是假命題．