高考題怎么改編（二）
——函數與性質篇

2018-12-04 14:49:06蘇玖

新世紀智能(數學備考) 2018年10期

蘇玖

真題展示

問題1（2018年全國Ⅱ卷第11題）已知f（x）是定義域為（－∞，＋∞）的奇函數，滿足f（1－x）＝f（1＋x）．若f（1）＝2，則f（1）＋f（2）＋…＋f（50）＝（）

A．－50 B．0 C．2 D．50

思維延伸

問題1思維延伸如果已知和式的值求自變量的值，也就是多少個連續的函數值等于已知數，就有：

（改編1-1）已知f（x）是定義域為（－∞，＋∞）的奇函數，滿足f（1－x）＝f（1＋x），f（1）＝2，Sn＝f（1）＋f（2）＋…＋f（n），若Sn＝0，則n的取值集合為________．

如果將“奇函數”改為“偶函數”，再改變相關條件，于是就有：

（改編1-2）已知f（x）是定義域為（－∞，＋∞）的偶函數，滿足f（x－1）＝f（1＋x），在［0，1］上f（x）＝2x2－1，若則a的所有值構成的集合為________．

（改編1-3）已知f（x）是定義域為（－∞，＋∞）的奇函數，滿足f（1－x）＝f（1＋x），f（x）在［0，1］上單調遞增，且f（x）在［0，2）上有唯一零點．若函數在區間［0，n］上有100個零點，求最小正整數n的值．

問題2思維延伸本題就是周期函數、分段函數與函數迭代的綜合應用，周期函數與分段函數是必考的知識點，畫圖可以看出，一個周期內f（x）有兩個零點和1，于是從圖象角度可以改編為：

從函數迭代角度出發，條件不變，待求改變，于是又可以改編為：

如果將分段函數改編為待定函數，可以改編為：

點撥解析

問題1的解析：f（x）是奇函數，因此f（0）＝0．又因為f（1－x）＝f（1＋x），因此f（x）的圖象關于直線x＝1對稱．又有f（－x）＝f（2＋x），即f（2＋x）＝－f（x），所以f（2）＝0，f（x＋4）＝f（x），故函數f（x）是周期函數，周期為4．因為f（1）＝2，f（3）＝f（－1）＝－2，f（4）＝0．因此一個周期內的和為0，所以f（1）＋f（2）＋ … ＋f（50）＝f（1）＋f（2）＝2，故選C．

改編1-1解析：分類討論，因為一個周期內的函數值之和為0，因此當n＝4k，k∈N*時，Sn＝0；當n＝4k－1，k∈N*時，Sn＝f（1）＋f（2）＋f（3）＝0；當n＝4k－3，k∈N*時，Sn＝f（1）＝2；當n＝4k－2，k∈N*時，Sn＝f（1）＋f（2）＝2．所以n的取值集合為｛n|n＝4k－1或n＝4k，k∈N*｝．

推廣：已知f（x）是定義域為（－∞，＋∞）的奇函數，滿足f（1－x）＝f（1＋x）．若f（1）＝a，求：（1）Sn＝f（1）＋f（2）＋…＋f（n）；（2）

提示：分類討論得：

改編1-2解析：由f（x－1）＝f（1＋x）知，f（x）是周期為2的周期函數，當x∈［－1，1］時，f（x）＝2x2－1，同時圖象關于直線x＝1對稱，因此對稱軸是x＝k（k為整數），當a∈［－1，1］時即．由周期性，所有的a的值為所以a的取值集合為

改編1-3解析：由題意得，函數f（x）的周期為4，圖象關于直線x＝k（k∈Z）對稱．因為f（x）在［0，1］上單調遞增，因此f（x）在［－1，1］上單調遞增，且f（x）在［－1，1］上有唯一零點0．由于f（0）＝0，因此f（2）＝0，所以f（x）在一個周期內［0，4）上有零點0和2．又因為函數是f（x）圖象向右平移個單位長度得到的，于是g（x）在一個周期內［0，4）上有零點和．要使g（x）在［0，n］內有100個零點，因此區間［0，n］內必有50個周期，而這些零點分別為…，構成等差數列，公差為2，第100個零點為，所以故最小正整數n為199．

問題2的解析：由題意知，f（x）是周期為4的函數，，因此所以填

改編2-1解析：畫圖分析，區間［－4，10］內有三個半周期，要使得有10個零點，一個周期內至少要有三個零點，于是

若本題改為g（x）在區間［－4，10］內有11個不同的零點，則實數a取值范圍為_________．在x＝－4時，圖象為一個點答案為