四招突破圓錐曲線離心率問(wèn)題

李連興

離心率是聯(lián)結(jié)圓錐曲線的多種幾何性質(zhì)的“核按鈕”，是高考考查的熱點(diǎn)．求圓錐曲線的離心率有以下四種常見(jiàn)方法．

一、直接解出基本量

解（1）由題設(shè)知，a2＝b2＋c2，e＝，由點(diǎn)（1，e）在橢圓上，得

評(píng)注這類(lèi)題一般都能夠根據(jù)已知條件直接解出a，c，從而求得e．

二、從圓錐曲線定義出發(fā)

例2已知點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|PF1|＝e|PF2|，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為_(kāi)_______．

解析很多同學(xué)感到疑惑的是，題目中看不出有明顯的能形成不等關(guān)系的量．我們看到有條件|PF1|＝e|PF2|．可以嘗試用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a，

此時(shí)，我們要用到一個(gè)關(guān)于雙曲線的比較重要的結(jié)論：|PF2|≥c－a．（可以畫(huà)個(gè)草圖，作出與F2相應(yīng)的準(zhǔn)線，則|PF2|的大小與P到準(zhǔn)線的距離成正比）

評(píng)注雙曲線上的點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離的最小值是在頂點(diǎn)處取到的，這個(gè)結(jié)論看似簡(jiǎn)單，實(shí)則非常重要，建立不等關(guān)系后，用到了二次不等式的知識(shí)，本文的第四部分會(huì)重點(diǎn)介紹建立齊次方程求解離心率的方法．

三、從圖形特征入手

這類(lèi)問(wèn)題要畫(huà)出圖形并研究圖形的幾何特征．要將圖形的幾何特征分析清楚以便找出a，b，c的關(guān)系．如果幾何特征不能看清，則可能帶來(lái)繁瑣的計(jì)算．

例3在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩切線互相垂直，則離心率e＝________．

解析如圖1，切線PA，PB互相垂直，又OA⊥PA，OB⊥PB，所以四邊形OAPB是正方形，進(jìn)而△OAP是等腰直角三角形，故，解得

圖1

點(diǎn)評(píng)此類(lèi)題目應(yīng)通過(guò)畫(huà)圖分析幾何特征，注意圓、等邊三角形、菱形、正方形等特殊圖形中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，找到解題突破口．

四、從代數(shù)方程突破

此類(lèi)題目通常要根據(jù)條件（尤其要善于利用圓錐曲線的方程）列式，變形，最終得到關(guān)于a，c的齊次方程，解出，即e的值．

例4如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．

圖2

解析直線A1B2的方程為：；直線B1F的方程為：

點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是要根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，得到關(guān)于a，c的齊次方程，進(jìn)而求出離心率．本題的解法思路代表一類(lèi)求離心率問(wèn)題，具有一般性，要認(rèn)真體會(huì)，觸類(lèi)旁通．

綜上，求離心率的四種方法，其實(shí)質(zhì)是利用所給條件，結(jié)合圖形的幾何特征，列出關(guān)于a，c的方程或不等式（組），進(jìn)而求出離心率或其取值范圍，體現(xiàn)了解析幾何處理問(wèn)題的基本思想方法．可以說(shuō)，四法歸一，數(shù)形結(jié)合．