四招突破圓錐曲線離心率問題

李連興

離心率是聯結圓錐曲線的多種幾何性質的“核按鈕”，是高考考查的熱點．求圓錐曲線的離心率有以下四種常見方法．

一、直接解出基本量

解（1）由題設知，a2＝b2＋c2，e＝，由點（1，e）在橢圓上，得

評注這類題一般都能夠根據已知條件直接解出a，c，從而求得e．

二、從圓錐曲線定義出發

例2已知點P是雙曲線上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF1|＝e|PF2|，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為________．

解析很多同學感到疑惑的是，題目中看不出有明顯的能形成不等關系的量．我們看到有條件|PF1|＝e|PF2|．可以嘗試用雙曲線的定義進行轉化．

由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a，

此時，我們要用到一個關于雙曲線的比較重要的結論：|PF2|≥c－a．（可以畫個草圖，作出與F2相應的準線，則|PF2|的大小與P到準線的距離成正比）

評注雙曲線上的點到同側焦點的距離的最小值是在頂點處取到的，這個結論看似簡單，實則非常重要，建立不等關系后，用到了二次不等式的知識，本文的第四部分會重點介紹建立齊次方程求解離心率的方法．

三、從圖形特征入手

這類問題要畫出圖形并研究圖形的幾何特征．要將圖形的幾何特征分析清楚以便找出a，b，c的關系．如果幾何特征不能看清，則可能帶來繁瑣的計算．

例3在平面直角坐標系中，已知橢圓，以O為圓心，a為半徑的圓，過點P作圓的兩切線互相垂直，則離心率e＝________．

解析如圖1，切線PA，PB互相垂直，又OA⊥PA，OB⊥PB，所以四邊形OAPB是正方形，進而△OAP是等腰直角三角形，故，解得

圖1

點評此類題目應通過畫圖分析幾何特征，注意圓、等邊三角形、菱形、正方形等特殊圖形中所蘊含的數量關系，找到解題突破口．

四、從代數方程突破

此類題目通常要根據條件（尤其要善于利用圓錐曲線的方程）列式，變形，最終得到關于a，c的齊次方程，解出，即e的值．

例4如圖2，在平面直角坐標系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓的四個頂點，F為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為________．

圖2

解析直線A1B2的方程為：；直線B1F的方程為：

點評本題的關鍵是要根據點M在橢圓上，求出點M的坐標，代入橢圓方程，得到關于a，c的齊次方程，進而求出離心率．本題的解法思路代表一類求離心率問題，具有一般性，要認真體會，觸類旁通．

綜上，求離心率的四種方法，其實質是利用所給條件，結合圖形的幾何特征，列出關于a，c的方程或不等式（組），進而求出離心率或其取值范圍，體現了解析幾何處理問題的基本思想方法．可以說，四法歸一，數形結合．