如何構造函數

戈 峰

利用導數研究函數的單調性、極值和最值來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．解決此類問題主要是把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，而關鍵是如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數，再用導數證明不等式．現在歸納幾種常見的構造函數的方法，具體如下．

一、常用模型構造函數

例1設函數f（x）在R上的導函數為f′（x），且2f（x）＋xf′（x）＞0，求證：f（x）＞0在R上恒成立．

解答由已知，令x＝0得f（x）＞0．

令g（x）＝x2f（x），則g′（x）＝x［2f（x）＋xf′（x）］，

① 當x＞0時，有所以函數g（x）單調遞增，所以當x＞0時，g（x）＞g（0）＝0，從而f（x）＞0．

② 當x＜0時，有所以函數g（x）單調遞減，所以當x＜0時，g（x）＞g（0）＝0，從而f（x）＞0．

綜上，f（x）＞0在R上恒成立．

小結此題構造函數g（x）＝x2f（x），g′（x）＝x［2f（x）＋xf′（x）］，與條件2f（x）＋xf′（x）＞0密切相關，從條件特征入手，聯想到常用求導公式模型，是我們構造函數的常用方法之一．現歸納兩類常用模型：

1．關系式為“加”型

（1）若已知f′（x）＋f（x）≥0（≤0），構造［exf（x）］′＝ex［f′（x）＋f（x）］；

（2）若已知xf′（x）＋f（x）≥0（≤0），構造［xf（x）］′＝xf′（x）＋f（x）；

（3）若已知xf′（x）＋nf（x）≥0（≤0），構造［xnf（x）］′＝xnf′（x）＋nxn－1f（x）＝xn－1［xf′（x）＋nf（x）］．

2．關系式為“減”型

二、作差（商）構造函數

綜上可知，當x＞－1時，有ln（x＋1）≤x．

小結證明f（x）≥g（x）對x∈D恒成立問題可以轉化為f（x）－g（x）≥0對x∈D恒成立問題，等價于，即構造函數F（x）＝f（x）－g（x），證明F（x）min≥0；同樣的，若g（x）＞0時，也可構造函數，證明G（x）min≥1．

三、用常見不等式構造函數

在學習過程中，同學們會發現不等式ex≥x＋1，x－1≥lnx在解題中會經常遇到，此組不等式可用作差構造函數證明，從圖象中也很容易直觀理解（如圖1）．

圖1

若令t＝x＋1，不等式的右側變為lnt≤t－1；

四、形似構造函數

例3已知函數a＞1．證明：若a＜5，則對任意x1，x2∈ （0，＋ ∞），x1≠x2，有

小結此題經過等價變換后得到f（x1）＋x1＞f（x2）＋x2，兩邊有相似的結構，構造函數g（x）＝f（x）＋x，研究g（x）的性質作為突破口．對于本身具有對稱性的雙變量不等式證明問題，通過等價變形，利用相似結構構造函數是比較常見的．

五、換元法構造函數

例4已知函數g（x）＝logax（a＞0，且a≠1），其中a為常數．如果h（x）＝f（x）＋g（x）是增函數，且h′（x）存在零點（h′（x）為h（x）的導函數）．

（1）求a的值；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函數y＝g（x）圖象上的兩點，g′（x0）＝為g（x）的導函數），證明：x1＜x0＜x2．

小結多元變量證明問題首先可以進行等價變形，根據變量特征進行換元達到減元的目的．此題中要證明變形后，剩下的變量x1，x2又是分式齊次的，容易想到令來換元．

六、主元法構造函數

令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，那么r′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x2］上單調遞增．當x1＜x2時，r（x1）＜r（x2）＝0，即x1lnx2－x1lnx1－x2＋x1＜0，從而x0＞x1得到證明．對于同理可證，所以x1＜x0＜x2．

小結當變量比較多時，往往選擇其中某個變量為主元，對其他變量“視而不見”，以達到減元目的．

在觀察不等式結構特征、選擇何種方法構造函數前，很多題目需要對不等式進行變形，同學們不僅要關注變形的一些技巧問題，還要特別注意在不等式變形過程中的等價性問題，比如去分母注意不等號是否需要變向；變換過程中自變量的范圍有沒有發生改變；換元后有沒有注意到新元的范圍等等．