“隱圓”發現之旅

郜杰翔

最近我做到這樣一道題目，思考了很多，很受啟發．跟大家一起分享．

例已知△ABC的三邊長為a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，則△ABC面積的最大值為________．

三角形面積的問題首先想到的是面積公式的選用，常用面積公式有和

圖1

方法二：常規處理方法還有依據余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC和面積公式借助a，b對稱的特征，進行適當的變形處理，可以得到S的取值范圍：

此時，進一步求解的難度很大．作為填空題，在萬不得已的情況下只能連蒙帶猜．

由a，b對稱，令a＝b，

用這兩種方法能得到結果確實都不容易，其實如果將條件a，b，c中的一個量看作是常量，那么條件就變得相對熟悉．例如將c看作常量，則有CB2＋CA2＝8－2c2，即動點C到兩個定點A，B的距離平方和為定值，由此本題還有一種看似普通卻非常神奇的做法——解析法．

方法三：以邊AB的中點O為原點建立平面直角坐標系xOy，

注：本解法先將c視作常數，然后進行求解．

【課本探源】

（蘇教版選修2-1P．64習題2．6（2）第1題）已知線段AB長為2，動點M到A，B兩點的距離的平方和為10，求M的軌跡方程．

這道課本題，相信同學們都能自如地運用解析法求解．我們不難發現上述模擬題可以轉化為：

已知線段AB長為c，動點M到A，B兩點的距離的平方和為8－2c2，求M的軌跡方程．

【構建模型】

從上述研究中，不難發現如下結論：

若線段AB長為定值，動點M滿足MA2＋MB2＝λ（λ為定值），則M的軌跡為圓．

特別地，當λ＝AB2時，M的軌跡為以AB為直徑的圓．

【本質探索】

那么為什么“線段AB長為定值，動點M滿足MA2＋MB2＝λ（λ為定值），則M的軌跡為圓”呢？

【模型應用】

1．已知A，B為平面內的兩個定點，且AB＝2．若在平面內存在唯一一點P同時滿足：①，②PA2＋PB2＝λ（λ∈R），則λ的取值集合為____________．

答案：

分析：該題條件①屬于我們所熟悉的阿波羅尼斯圓，如果知道條件②也可以轉化為圓，題目就變成了圓與圓的位置關系問題，利用幾何關系巧妙得解．

2．已知圓O：x2＋y2＝4，點P（0，1），圓上的兩動點A，B滿足PA⊥PB，AB的中點記為M，則PM的取值范圍為________．

答案：

分析：這道題看似無從下手，實際上也只是上述模型的變形而已．

由題意知，該題的定點是O，P兩點．

根據圓的性質，OM2＋MA2＝OA2＝4．

又△APB是直角三角形，M是斜邊AB的中點，所以MP＝MA．

所以OM2＋MP2＝4．即上述模型，從而巧解上述問題．

總結在考查上述模型時，命題人總會想方設法將條件進行“著裝打扮”，隱藏我們熟知的圓，這就需要我們揭開題目“神秘的面紗”探索本質．

【模型推廣】

1．如圖，點C為半圓的直徑AB延長線上一點，AB＝BC＝2，過動點P作半圓的切線PQ．若，則△PAC的面積的最大值為________．

圖2

答案：

而PQ2＝OP2－1，

則PC2＝2OP2－2，即2PO2－PC2＝2．

思考：此時O，C均為定點，動點P滿足上述關系式時，其軌跡是圓（或半圓）嗎？

通過求軌跡方程的一般步驟不難得出，答案是肯定的．

由此得出

分析：這道題難住了很多同學，他們在考慮三角形面積如何表示時陷入了僵局．然而這個題目里也隱藏著一個美妙的圓．

記半圓的圓心為O，則OQ⊥QP．

推論1若線段AB長為定值，動點M滿足αMA2＋βMB2＝λ（λ為定值且α＋β≠0），則M的軌跡為圓．

只要以AB中點為坐標原點，運用解析法就可以證明此推論．

2．（2017年江蘇高考卷第13題）在平面直角坐標系xOy中，A（－12，0），B（0，6），點P在圓O：x2＋y2＝50上，若，則點P的橫坐標的取值范圍是________．

答案：

分析：盡管條件中線段AB長仍為定值，但另一條件卻變成了．我們先退一步想，動點P滿足時，其軌跡是圓（或半圓）嗎？

答案也是肯定的！

又AB是定值，可得|AP|2＋|BP|2＝220是定值，

則該模型又回到了最初的模型．

由此得出

推論2若線段AB長為定值，動點M滿足（λ為定值），則M的軌跡為圓．

特別地，當λ＝0時M的軌跡為以AB為直徑的圓．

此推論可用求軌跡方程的基本方法證明，且本質與原先的模型相同．

【模型啟示】

許多試題的命制思路都是從同一類式子出發，本質都是一樣的，只是表達的形式不盡相同．這就要求我們學會“透過現象看本質”，應對復雜問題才能揮灑自如．