跳出三角函數中的范圍陷阱

潘梅耘

三角函數范圍問題是高考中的熱點問題，也是困擾同學們學習的一個難點問題．本文就三角函數中典型的范圍易錯題加以評析，并給出相應的解題對策，以期達到窺一斑而知全豹的功能．

一、三角函數值對角范圍的隱限制

角終邊的唯一性決定了角的某一三角函數值是唯一的，但角的某一三角函數值對應角大小因有終邊相同形式或終邊的對稱性，從而具有多解性．在一定范圍內，對應角受到限制，需要取舍．如果角的范圍僅僅考慮明示條件，不注意隱含條件的挖掘，處理不到位，就會引起增解，掉入陷阱．

案例1已知，且α，β∈（0，π），求2α－β的值．

錯解由題tan（2α－β）＝tan［2（αβ）＋β］，因為，所以

剖析以上解法過程中，僅考慮α，β的明示范圍，未注意條件以及推論與明示范圍相結合，推知角α，β的值應是唯一的．事實上由，知β角是唯一確定的鈍角（查表可得具體值），如求出同理推知α角也是唯一確定的，從而2α－β的值應是唯一的，只要適當限制α，β的范圍，就能達到預期的效果．

正解得到（*）后：由知．由，知．所以所以

反思在利用三角函數值求角的問題時，角的范圍會對角的取舍有決定性的影響．一般地，求角時先求該角的某一個三角函數值，然后確定該角的范圍．如果在題目給出的明示條件下，求出的該角的范圍內，所求角是唯一的，往往不會出現增解，但如果所求角不唯一，就要進一步考慮影響角范圍的一些隱含信息了，直至確信解的個數為止．

解答此類問題盡管不太容易，但還是有一些對策的，舉例如下：

對策一：恰當選擇三角函數名稱，避免增根的出現

評析本題采用了求余弦值的方法，因為在α，β為銳角的情況下，0＜α＋β＜π，此時余弦值在第一和第二象限異號，和角是一一對應的．本題若改用正弦求，則有：，由α，β為銳角得0＜α＋β＜π，此時或，還需要對角的范圍作進一步的限制才行．由，結合α，β為銳角得所以所以

對策二：利用三角函數值的正負性、單調性，限制相關角的范圍和確定值的取舍

例2已知，求sinx．

二、三角形中量的聯系對角范圍的隱限制

三角形成立的前提、多變量之間的約束，以及實際生活等背景，給角的范圍蒙上了一層紗，使同學們防不勝防，但只要不斷積累和總結、歸納和反思就能起到加深理解、熟能生巧的效果．

案例2在銳角△ABC中，若C＝2B，則的范圍是________．

錯解由題所以的范圍是（0，2）．

剖析主要是求B的范圍時，未充分用好銳角三角形這一條件，根據條件中的銳角三角形，得知三角形的三個角都是銳角，應列出三個角都為銳角的三個不等式．

正解因為△ABC為銳角三角形，所以且且，所以，所以，所以的范圍是

反思在解三角形中的三角函數問題時，能注意到用正、余弦定理將邊角單一化，但三角形這個背景所暗示的前提條件常常被忽視，從而帶來角范圍的擴大．如果本題條件去掉“銳角”兩個字，同學們是否仍能注意到0＜A＝π－B－2B＝π－3B＜π，且0＜B＜π，0＜C＝2B＜π，從而這一范圍條件？如改為“鈍角三角形”，又如何求角的范圍呢？對，需要對角A與角C哪個是鈍角進行討論．

解答此類問題常見對策有：

對策一：優先考慮三角、三邊所有的限制條件，逐一轉化為目標量的范圍

例3已知三角形三邊成等比數列，求公比的范圍．

評析三角形存在的前提：任兩邊之和大于第三邊要優先考慮，可避免范圍出錯，但可考慮優化．

三邊定序時，只要較小兩邊之和大于第三邊就行；三邊不定序時，可改為：任意一邊介于另兩邊的差的絕對值與另兩邊的和之間．如三邊為2，x，，求x范圍，可列出不等式求解．

例4已知在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，∠C＝60°，當c＝1時，求a＋b的取值范圍．

評析本題多數同學首先會想到利用余弦定理，得到邊的關系a2＋b2－ab＝1，但不易將目標減元，更不便求邊的范圍．因角的范圍便于求解，故考慮利用正弦定理將邊化角求解．在三角形中，有關求范圍問題，一般都是化邊為角，再根據內角和定理，三個角的范圍相互約束，當它們都用目標角表示時，這種隱含的約束范圍才能揭示出來，否則就會出錯．

對策二：不定三角形解情多，數形結合思范圍

解三角形中有一類不定三角形，即已知兩邊及一邊對角，其解的情形可由下表得知：

例5在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，求x的取值范圍．

解析由圖知（圖略）asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，解得x的取值范圍是

評析本題也可用余弦定理求解：在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即由題意，關于c的一元二次方程有兩個正根，故Δ＞0且x2－4＞0且，解得x的取值范圍是

應用余弦定理將問題轉化為一元二次方程的實根分布，思路清晰．事實上可以證明：若已知a，b，A的值，由a2＝b2＋c2－2bccosA，化為c2－（2bcosA）c＋b2－a2＝0（*），Δ＝4（a＋bsinA）（a－bsinA），在a＜b的前提下，當Δ＞0時，三角形有兩解；當Δ＝0時，三角形有一解；當Δ＜0時，三角形無解．當a＜b時，以上結論與上表中第三大行的結論一致，當a≥b時，由方程（*）知c1c2＝b2－a2≤0，說明方程（*）如有兩解，其中必有一負一正或一零一正，實為一個有效解，也與上表中前兩行結論一致．所以在對邊小于鄰邊的前提下，用余弦定理求解，不必擔心增解．

綜上，我們可以看出三角函數值本身的正負性、絕對值大小就隱含著角的范圍限制；多變量之間的約束、三角形成立的前提，以及實際生活的背景等也是產生范圍限制的原因，但萬事萬物都有一個源頭，只要抓住起因，堅持等價變形，充分挖掘隱含信息，揭示本質規律，就能駕馭“范圍”這匹倔強的野馬，越過重重陷阱，奔赴成功的樂園．

鞏固練習

1．在△ABC中，已知a＝1，A＝30°，則S△ABC＝________．

2．在△ABC中，邊上的高則BC＝________．

3．在銳角三角形ABC中，tanA＝t＋1，tanB＝t－1，則t的取值范圍是________．

4．已知△ABC中，，求cosC的值．

5．已知△ABC中，，求cosC的值．

參考答案