對分數除法教學方法的探討

福建省安溪縣第五小學 陳小玲

小學生心理特點的發展局限會影響他們對分數除法的理解運算。他們往往不能理解為什么要顛倒相乘，分子與分母之間該如何轉換運算，這也與他們對分數除法的基本概念不清楚或者理解不夠透徹有關。分數除法是在分數乘法的基礎上轉變的一種形式，是逆運算，與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積，求另外一個因數。在小學階段的數學學習過程中，除法的意義也逐漸被擴充，這就進一步要求小學生的全面了解和掌握。

一、借助一題多解的模式開闊學生的視野

在分數除法的運算過程中，一般有兩種解題方法：一種是直接用分子除以被除數，一種是把除法轉化為乘法來計算。第一種方法在某些情況下可能不會奏效，因為分子除以整數有時除不盡，而第二種方法就是轉化為倒數來約分，而得到的結果不管是真分數還是假分數都是比較準確的。在小學階段，低年級的學生沒有學過方程思想，某些復雜的除法計算就不能簡化，而對于六年級的學生來說，除法的運算要復雜很多，這時他們就可以設未知數來簡化運算。

例如，把一張紙的五分之四平均分為兩份，每份是這張紙的幾分之幾？學生可以動手操作來找出答案，把五分之四平均分成兩份就是把四個五分之一分為兩份，每份就是兩個五分之一，即五分之二。或者說把五分之四平均分成兩份，也就是五分之四的二分之一，即從這個簡單的問題中可以看出，解題方法的多樣性與學生思維能力的提高密切相關。通過互相間的交流溝通，它能夠讓學生對于題目內部之間的聯系與貫通有進一步的認識。有幾類問題比較典型，已知一個問題的幾分之幾是多少，求這個數的解法。設單位一的量為x列方程解答，或者已知量除以已知量占單位一的幾分之幾等于單位一的量。用分數除法解決實際問題時可以從多個角度出發，加深對于數量關系的認識和理解。已知比一個數多幾分之幾的數是多少，求這個數。列舉一個實際問題：爸爸的年紀是35歲，他的年紀比爺爺的年紀小求爺爺的年紀。①根據數量關系，單位1的量×（1±幾分之幾）＝已知量；單位1的量±單位1的量×幾分之幾＝已知量。列方程解答：解得x＝75。②確定單位1的量，計算單位一的量占已知量的幾分之幾，再根據分數除法的意義列式解答：這兩種解題的方法都可以很好地體現分數除法的應用和多元化的思維模式。

因此，學生在重復練習除法運算時，遇到實際問題時，要理清已知量的含義是被除數還是除數以及等量關系，多總結歸納這類問題在解決上的不同方法、總量與部分的占比關系，這也為初高中各種公式定理的推導打下基礎。

二、借助對比分析模式幫助構建模型

分數除法與分數乘法可以對比聯系起來，事物的本質是相同的，加減乘除都可以相互轉換，讓學生明白解題的基本結構和內在關系，就可以在此基礎上形成以分數除法為原則的模型。借助對比分析的手段，不管是初學除法時整數相除、一位兩位乃至多位數的除法，還是深入掌握后整數與分數相除、分數與分數相除，都可以類比乘法來計算，還可以延伸到初中數學中多因式相除以及含未知變量的除法，皆相得益彰。

例如，同整數四則運算相同，含乘除加減運算則先乘除后加減，只有一級運算的，就按照從左至右依次算出。如：某項工程建設中，一條道路甲隊單獨修要12天才能完成，乙隊單獨修完需18天，問兩隊合修要多少天？甲、乙兩隊的工作效率不同，一般都是已知工作時間和工作效率，用分數乘法來計算工作量，對比一下，都是已知三個量，分數乘法是已知兩個因數，求它們的積，而分數除法是已知兩因數的積和其中一個因數，求另一個因數。形式不同，本質相同。處理這類問題時，就要用到工作時間＝工作量÷工作效率。工作總量是未知的，把它看作單位1，那么完成此項工作的時間是幾，工作效率就是幾分之一，把后者當作條件參與列式：再如：①某學校有1000名學生，女生人數是學生總數的女生人數是多少？②第二小學有400名男生，男生人數是學生總數的學生總數是多少？③第二小學有400名男生，女生比男生多女生人數是多少？列舉多個相似的分數除法運算，讓學生在對比分析中探索、討論、觀察、交流，增強他們分析解決問題的能力。解題時常會出現一些量的增減變化，但是一直與這些量有關的另一些量卻不隨之改變，找出不變的量之間的恒等關系，就可以把復雜問題簡單化，找到突破口。對比已知量增減前后與總量之間的占比關系如何變化，帶來分數的改變對最終除法計算的影響。

因此，可以運用一些基本規律：將被除數擴大（縮小）n倍，而除數不變，則商也相應的擴大（縮小）n倍；將除數擴大（縮小）n倍，而被除數不變，則商相應的縮小（擴大）n倍。掌握這種計量關系可以通過情景還原式教學，不至于讓學生感到抽象無法理解。長除和短除的不同適用范圍對比理解有相同的效果。一些重視計算過程和商數的除法，適用于因式分解，多項式除法等是長除；重視倍數測試和連乘式，適用于快速除法和計算最小公倍數的是短除。被除數連續除以多個除數等于連乘這幾個數的倒數。這些思想的對比分析可使學生真切地領悟與歸納出借助分數除法處理實際問題的基本特點及思路關鍵節點。

三、線段圖是形象與抽象的聯系紐帶

小學生對于圖形的了解是淺層次的，他們往往局限在代數思維愈漸復雜的道路上，對于抽象思維的培養則有所匱乏，除法計算用線段圖來表示就很直接地呈現了問題同條件之間的聯系，甚至可以把計算過程簡單化。直觀教學是小學教學的基礎，小學生的邏輯思維沒有達到和抽象思維無縫銜接的高度，所以考慮到他們的認知能力，面對已知條件較多、變量關系較復雜的除法計算時，可以讓他們將已知量和未知量都標注在線段圖上再去分析。

總之，除數就是條件主體，可以是總量、同階級其他量等，被除數就是已知量與未知量之間的比例換算條件。在小學階段學習不斷深入的過程中，除數和被除數也由簡變難，但是計算的核心要點是不變的，在平時的教學中，要活學活用類比推理來尋求更新穎的解題方法。