基于學生已有認知，有效滲透數學思想
——以“雞兔同籠”教學為例

福建省廈門市湖里區教師進修學校附屬小學 林成蔭

“數學廣角”是人教版小學數學課標教材特有的單元，每個內容都蘊含著基本的數學思想，集中體現了2011版新課程標準的要求。那么，要怎樣讓學生有效感受到這些蘊含的數學思想方法并內化為己用，形成自身的素養呢？奧蘇伯爾堅定地提出，假如把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那就是：影響學習的唯一重要因素，就是學習者已經知道了什么。因此，要有效滲透數學思想，教師應該探明學生的已有認知，并據此進行教學。下面以人教版數學四年級下冊“雞兔同籠”教學為例，談談我的做法和感悟。

一、基于學生解決問題的經驗教學

小學生解決數學問題時，直覺性思維占主要地位，一般會先從儲備的信息中搜尋已有的解決問題的方法和經驗，如果找到類似點，他們就會套用原有的方法嘗試進行，而在嘗試解決的過程中遇到障礙后，才會激發他們的反思性思維，尋找新的方法。因此，當學生理解“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔知幾何?”的題意，明確要求的問題后，我做了如下引導：

片段一：

師：根據以前的經驗，你會怎么解決這個問題？

生1：分別假設雞的只數和兔的只數，然后計算它們的總腳數，看是不是題目已知的總腳數。

師：那么，你要怎么假設？

生1：假設雞10只，兔25只，雞兔的總腳數是10×2+25×4=120，哦，總腳數不對。

生2：我假設雞5只，兔30只，雞兔的總腳數是5×2+30×4=130，總腳數也不對。

生3：我假設雞15只，兔20只，雞兔的總腳數是15×2+20×4=110，總腳數也不對。

師：這樣假設你們有什么感覺？

生：很亂。

師：那么怎么辦呢？

生：可以按順序假設，再計算。就是先假設雞0只，兔35只計算；再假設雞1只，兔34只計算……這樣有序假設，有序計算，有序思考，就不亂了。

師：嗯，好辦法，這樣就有序了。那么有35個頭，我們就要假設35次，這樣你們覺得怎樣？

生：好麻煩！

師：怎么辦呢？

生：如果動物的只數少一些就好了。

這時，老師再告訴學生在數學上可采用“化繁為簡”的方法先尋找規律，然后再運用規律解決原問題。

四年級的學生學習的基本上是用算術解決問題，所以，當他們遇到這樣的題目時，就必然想到要假設具體的量來計算，這是他們已有的知識經驗決定的。在讀懂學生的這個特點后，我留出時間讓學生嘗試解決問題，經過幾次簡單假設和數據調整，仍然不能得到正確的結果，學生自然會感受到這樣無序假設不利于尋找結果，于是有序假設數據的想法自然涌現，有序思考的思想方法水到渠成地滲透其中。有了有序假設的想法后，因數據較大，不利于假設來尋找規律，接著“化繁為簡”的數學思想方法也就應運而生。這個思想方法四年級的學生還未經歷過，一般說不出準確的名稱，但他們會有想法，想法有了，老師再順著學生的想法告知有這樣的方法可以解決問題，學生一方面為自己的想法感到高興，另一方面，他們將牢牢記住“化繁為簡”的數學思想方法的用處。只有經歷這樣的體驗，印象才會深，掌握才會牢，應用才會活。

二、抓住本課前后知識聯系教學

從教材編排來看，解決“雞兔同籠”方法有猜測、列表、假設等，體現解決問題策略和方法的多樣化，這些方法之間是并列的，沒有聯系。一節課中，學生學習的過程應該是逐漸深入的、有層次的、有系統性的，其掌握的知識才能結構化、系統化。如果是東一榔頭、西一棒槌地學，充其量習得其中一兩點，效果大打折扣。基于此，我把教材中的列表法和假設法聯系起來，統稱為假設法，教材中的列表法屬“有序假設”，教材中的假設法屬“特例假設”，這樣學生前面學習的知識為后面學習的知識服務，解決問題的方法依然多樣，但方法螺旋上升，順應學生思維的發展，促進學生把已有的方法進行優化和深化。

片段二：

師：剛才我們用列表法有序假設雞和兔的只數，找到了結論，也發現了每多（少）一只兔，少（多）一只雞，總腳數就會多（少）2只的規律。那么在這些假設中，你們覺得哪種假設比較特殊？

生1：雞8只，兔0只這種。

生2∶ 雞0只，兔8只這種也是。

師：為什么你們認為這樣是特殊的？

生：因為雞兔同籠嘛，那肯定是有雞又有兔的，但我們卻假設其中一種是沒有的，所以比較特殊。

師：在數學上，我們就利用這種特殊的假設找到了解決“雞兔同籠”問題的更一般的方法，你們要不要試試？接著讓學生根據提示自主探究。

以前見過老師們教學本內容引入教材中的假設法時，單刀直入地說：剛剛我們用列表法解決了問題，接下來我們學習用新的方法解決這個問題。這樣平淡無奇、波瀾不驚地過渡，沒有激發學生學習的興趣，更不用說培養學生用聯系的眼光分析解決問題的意識和能力。我經過分析發現，教材中的列表法和假設法是有聯系的，聯系一就是假設法其實是列表法中把雞和兔的只數分別假設為0的情況；聯系二是從表中發現總腳數的變化規律總是差2，正是因為每只兔（雞）比每只雞（兔）多（少）2只腳的緣故，為探究假設法的道理做好鋪墊。于是抓住這個聯系承上啟下，讓學生感受到下一步的學習是以剛學的知識為基礎的，不但體驗到新知學習的作用，享受成功感，而且激發了他們進行探究的欲望和積極性，更重要的是樹立信心，覺得在已有認知的基礎上產生的新知自己是有能力探究出來的，于是他們興致勃勃地尋找特例假設與題目條件的矛盾，有的學生根據列表中的規律找原因，有的學生畫圖找原因，有些學生在獨立思考和合作交流后仍不懂的，迫不及待地閱讀課本。

三、根據現有幾何直觀水平教學

2011版數學課程標準中新增的核心概念之一“幾何直觀”是指利用圖形描述分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。但不是有圖就能理解，有圖就能解題，有圖還要根據學生現有的幾何直觀理解水平，輔以必要的操作、變化和語言分析，才能達到用幾何直觀性來闡明數之間的關系的目的，幫助學生逐漸掌握數形結合的思想方法。

片段三：

師：現在我們假設全是雞，那么總腳數是8×2=16（只），比題目已知的26只少了10只，為什么少了10只呢？

生：因為有些兔被看成雞了，所以總腳數變少了。

生：少的這10只腳原來是兔子的。

師：已經知道這10只腳是兔子的，那接下來怎么辦呢？

生：用10÷2來算兔的只數。

師：2是什么意思？為什么用除法？

學生通過交流，閱讀課本，模糊地明白了解決的步驟，但還沒完全理解，面對已經擺好的圖（圖1），學生思考，遲疑，但說不出來。

圖1

師：是不是要把兔子少的腳還回去呢？（學生點頭表示同意。）

師：每只兔要還回去幾只腳？

生：2只。

師：為什么？

生：因為每只雞有2只腳，一只兔比一只雞多2只腳，所以只要補上2只腳。

師（邊操作）：那就從這10只腳中拿出2只補給它，雞就變成兔了。（如圖2）

圖2

生：我明白了，這10只腳中有幾個2，就說明剛才少看了幾只兔，也就是兔有幾只。

師：是這樣嗎？請一位同學上臺來把剩下的這些腳補回去。（請一生上臺操作，最后如圖3）

圖3

師：現在你們能把這個過程用算式表示出來嗎？（絕大多數學生都滿懷信心地拿起筆，在作業本上刷刷地寫起來了）

……

學生思考的著力點有時離真相只隔著一層紙，雖然只是一層紙，但如果沒有戳出一個小洞，讓學生得以靠近窺探，那么一層紙就足以阻礙學生進一步的思考。就像上述環節中，圖已經擺出來了，學生知道總腳數比實際少10只，少的10只腳是兔子的腳，但他們找不到圖與數間的進一步聯系，因為四年級學生還是具體形象思維占主要地位，透過靜態圖思考圖與數間的關系的能力較弱，經過老師把少的2只腳補到原圖中變成兔的操作后，靜態圖變成了動態圖，更加直觀地展現了數量的變化關系，學生的思路找到切入口，思維找到了著力點——除法的意義，于是瞬間感悟到只要求少的總腳數中有幾個2，就有幾只兔的道理。基于學生現有幾何直觀水平的動態的形幫助學生很好地理解了算式的意義和所求數的道理，同時感受到數形結合的深層魅力。

在學生已有認知水平的基礎上，經過他人或媒介的幫助，通過自己的體驗，用自己的思維方式逐漸抽象、推理構建的“雞兔同籠”的數學模型，嵌入學生已有的知識和思維體系，達到新的水平，為學生提取信息，靈活解決新的情境和數據下其他的“雞兔同籠”問題打下了堅實的基礎，學生在解決這一類問題時得心應手，能順利找出對應的數據，運用原模型的解決方法解決一般化的雞兔同籠問題。學生對數學思想的認識需要與具體的知識相結合，認識的深淺在于其是否以學生的原有認知為著力點，所以要讓學生深刻體驗和感悟數學思想，教師應該探究與其緊密聯系的知識生成的生長點，再據此展開教學。