高中圓錐曲線的探究式教學(xué)研究

廣東省開平市忠源紀(jì)念中學(xué) 黃 清

一、從新課標(biāo)看圓錐曲線的教學(xué)要求

圓錐曲線的知識(shí)內(nèi)容在選修系列1和選修系列2都有涉及，選修1一般是文科學(xué)生學(xué)習(xí)的教材，選修2一般是理科生使用的教材。本文主要探究的是理科生學(xué)習(xí)的圓錐曲線知識(shí)。

教師在對(duì)圓錐曲線這一章節(jié)知識(shí)進(jìn)行授課時(shí)，課時(shí)安排大概在16個(gè)課時(shí)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)要求是：1.學(xué)生學(xué)會(huì)圓錐曲線的實(shí)際背景及在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用。2從實(shí)際的情景中抽象出橢圓、拋物線的模型，理解并掌握這些曲線的意義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)。3.雙曲線的定義要理解和明確。標(biāo)準(zhǔn)方程有一定的了解即可。4.使用坐標(biāo)系方法解決一些圓錐曲線幾何問題。5.學(xué)習(xí)圓錐曲線，理解數(shù)形結(jié)合的思想。

教科書中圓錐曲線章節(jié)首先介紹了用于描述圓錐截面的截圓錐的例子，通過探索的方式，實(shí)際背景允許學(xué)生將圓錐曲線與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來。在教科書中，以橢圓為例，我們?cè)黾恿撕芏嘌芯績(jī)?nèi)容，在“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)中，開始是一個(gè)探索性題目，允許學(xué)生手動(dòng)繪制橢圓并感受橢圓的形成過程，然后形成一個(gè)定義，通過坐標(biāo)方法以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。不僅橢圓，雙曲線和拋物線部分還有很多探究問題來指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主性探索。根據(jù)教材的編寫，對(duì)于這部分內(nèi)容的教學(xué)，新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)探究式教學(xué)方法。學(xué)生可以通過自主探索和老師的指導(dǎo)，獨(dú)立掌握其定義、幾何屬性等。與以前接受的教學(xué)相比，學(xué)生不再刻板學(xué)習(xí)知識(shí)，他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)就會(huì)減輕。

二、高考角度看圓錐曲線教學(xué)的要求

圓錐曲線內(nèi)容是歷年的高考考點(diǎn)，在高考中占據(jù)一些分?jǐn)?shù)。筆者對(duì)06年～15年的高考試卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，06年有四個(gè)題目涉及圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)，分?jǐn)?shù)為25分，07年21題考查了圓錐曲線的考點(diǎn)，分?jǐn)?shù)為12分，08年有兩道題目考查了圓錐曲線試題，分?jǐn)?shù)是19分，09年有兩道題目，分?jǐn)?shù)也是19分，10年21題考查圓錐曲線考點(diǎn)，分?jǐn)?shù)為12分，11年兩道題考查了圓錐曲線考點(diǎn)，分?jǐn)?shù)為19分，12年對(duì)圓錐曲線考查了兩道題，分值是18分，13年對(duì)圓錐曲線考查了兩道題，分值是18分，14年對(duì)圓錐曲線考查了兩道題，分值是19分，15年20題考查了圓錐曲線的考點(diǎn)，分值為13分。通過上述統(tǒng)計(jì)我們可以看出，圓錐曲線考點(diǎn)在歷年高考中都會(huì)涉及，這類題目對(duì)學(xué)生的考查非常靈活，不單是考核學(xué)生對(duì)于基本定義的理解和幾何性質(zhì)的理解，高考試卷圓錐曲線基礎(chǔ)題考查單一，比較簡(jiǎn)單，學(xué)生可以輕松解決問題，然而，后面的大部分問題都是綜合性問題，如焦點(diǎn)三角形問題，這些問題更困難，學(xué)生們非常害怕。讓學(xué)生通過探究來解決這部分問題，養(yǎng)成探究的習(xí)慣，通過學(xué)生獨(dú)立探索體驗(yàn)圓錐曲線的形成并更好地理解圓錐曲線的知識(shí)，提高學(xué)生對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)興趣，逐漸消除恐懼感。

三、圓錐曲線的探究式教學(xué)過程

筆者在閱讀何小亞、何姚靜編寫的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)》一書時(shí)，看到編者介紹數(shù)學(xué)教學(xué)方法：?jiǎn)栴}情境、提出猜想、共同驗(yàn)證、總結(jié)概括、擴(kuò)展練習(xí)。筆者通過分析圓錐曲線的知識(shí)特點(diǎn)，將上述學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了改進(jìn)： 創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，提出猜想假設(shè)；學(xué)生探索交流；進(jìn)行數(shù)學(xué)建模；課堂推廣延伸；課后應(yīng)用拓展。

1.創(chuàng)設(shè)合適的問題情境

創(chuàng)造良好的問題環(huán)境為這一教學(xué)法的順利實(shí)施創(chuàng)造了良好的開端。雅禮斯托德曾經(jīng)說過：“思考從問題的出乎意料開始。”高中學(xué)生的元認(rèn)知水平一直在提高，作為教師，必須明確探究性思維訓(xùn)練與教學(xué)內(nèi)容的關(guān)系，創(chuàng)造與學(xué)生生活相關(guān)的真實(shí)情況，以便他們能夠很好地訓(xùn)練思維，提高思維能力，增強(qiáng)對(duì)學(xué)習(xí)的興趣。

如在進(jìn)行《雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程》的教學(xué)時(shí)，“同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了橢圓的知識(shí)，老師有一個(gè)疑惑，大家可以想想：橢圓方程中，我們將加號(hào)改為減號(hào)，那么它會(huì)變成什么圖形呢？接下來，以小組為單位，咱們討論一下這個(gè)問題。”然后引導(dǎo)學(xué)生把想到的結(jié)果說出來。

學(xué)生剛剛學(xué)會(huì)了第一種類型的圓錐曲線——橢圓，對(duì)橢圓知識(shí)感興趣的學(xué)生充滿新奇，在此基礎(chǔ)上，上述情況激發(fā)了興趣，并為接下來引入雙曲線定義奠定了基礎(chǔ)。

2.提出猜想假設(shè)

從心理學(xué)的角度來看，猜想和假設(shè)都是思維活動(dòng)。它不是盲目的，而是學(xué)生通過建立學(xué)習(xí)知識(shí)與教師創(chuàng)造的問題情境之間的聯(lián)系，使問題變得有針對(duì)性。解決問題的步驟是：了解問題→制定計(jì)劃→實(shí)施計(jì)劃→審查和測(cè)試。當(dāng)學(xué)生真正了解了問題和計(jì)劃時(shí)，他們應(yīng)該進(jìn)行合理的猜測(cè)和假設(shè)，這將為學(xué)生的下一步計(jì)劃打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如：針對(duì)上述的問題，教師提問：同學(xué)們，剛才老師讓大家思考的問題，大家都思考好了嗎？接下來學(xué)生針對(duì)不同的情況一一作答。

學(xué)生1：設(shè)平面內(nèi)任意點(diǎn)為點(diǎn)M，如果常數(shù)2a=0時(shí)，則表示|MF1|-|MF2|=0，即MF1=MF2，所以這樣的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線。

生2：設(shè)平面內(nèi)任意點(diǎn)為點(diǎn)M，如果常數(shù)2a=|F1F2|時(shí)，則這樣的點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線。

生3：設(shè)平面內(nèi)任意點(diǎn)為點(diǎn)M，如果常數(shù)2a＞|F1F2|，即|MF1|-|MF2|＞|F1F2|，這違反三角形的三邊關(guān)系：兩邊之差小于第三邊，所以這樣的點(diǎn)的軌跡是不存在的。

生4：設(shè)平面內(nèi)任意點(diǎn)為點(diǎn)M，如果常數(shù)0＜2a＜|F1F2|，只考慮到這樣的點(diǎn)的軌跡應(yīng)該表示的是一種曲線，但是，具體是什么樣的曲線就不太清楚了。

師：很好，同學(xué)們的猜想與假設(shè)都比較全面。接下來我們就一起通過多媒體來看一下，若常數(shù)0＜2a＜|F1F2|，表示的是一種什么樣的曲線。

教師通過多媒體展示，在滿足常數(shù)0＜2a＜|F1F2|的前提下，不斷變換M的位置，使線段MF1和線段MF2時(shí)刻在變，但是它們的差值的絕對(duì)值是保持不變的，滿足這些要求的M的軌跡是兩條曲線，教師應(yīng)該趁此機(jī)會(huì)，趁熱打鐵，引出雙曲線的定義。同學(xué)們，我們通過前面對(duì)2a的取值范圍進(jìn)行假設(shè)分析，知道雙曲線的定義有一個(gè)適用范圍，那就是要滿足常數(shù)0＜2a＜|F1F2|。

3.學(xué)生之間相互探討、交流

學(xué)生是探究學(xué)習(xí)的主要部分。完成上一節(jié)課后，教師應(yīng)引導(dǎo)他們開展這個(gè)環(huán)節(jié)，要讓他們主動(dòng)探索，思考主題的位置，這個(gè)過程也需要教師的指導(dǎo)。在上述話題后，老師引導(dǎo)學(xué)生在引出雙曲線定義后進(jìn)行詢問交流。最后得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（-c，0），點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（c，0），焦距是2c，距離差為常數(shù)2a（0＜2a＜2c），由雙曲線的定義可知，MF1-MF2=2a，整理可以得到：（c2–a2）x2–a2y2=a2（c2–a2），公式兩邊同時(shí)除以

教師：很好，同學(xué)們，你們討論的結(jié)果非常好，計(jì)算過程也沒有任何錯(cuò)誤，大家這次對(duì)問題的討論真的非常棒。

通過這個(gè)小組討論環(huán)節(jié)，教師在一旁進(jìn)行指導(dǎo)，引導(dǎo)那些跑偏的小組回歸到正確的軌道上，整個(gè)討論過程，學(xué)生全部主導(dǎo)，學(xué)生主動(dòng)吸取知識(shí)，學(xué)習(xí)的效果非常好。

4.數(shù)學(xué)建模

我們今天學(xué)習(xí)如何把生活中常見的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中遇到的問題聯(lián)系起來，然后使用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行建模，例如坐標(biāo)系、幾何圖形或者橢圓的軌跡圖等等。通過數(shù)學(xué)建模，就能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可以使用公式就可以解決的數(shù)學(xué)問題。例如：人教版A版“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”章節(jié)中例題2：已知A，B兩地相距800米，在A聽到的炮仗聲比在B地晚2s，聲速為340m/s，求爆炸點(diǎn)運(yùn)行軌跡方程。通過對(duì)上述例題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，可轉(zhuǎn)化為橢圓數(shù)學(xué)方程解決問題。

5.課外延遲

在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模之后，他們已經(jīng)對(duì)他們剛剛學(xué)到的知識(shí)有了一定的了解。問題是基于“從課本和教科書”的標(biāo)準(zhǔn)和高考中的圓錐曲線這部分的形式出現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的比例相對(duì)較大，問題的難度主要是階梯，很難理解并且不限于教科書中的簡(jiǎn)單基礎(chǔ)知識(shí)。因此，本節(jié)的教師教學(xué)應(yīng)該以教科書的現(xiàn)有知識(shí)為基礎(chǔ)，并擴(kuò)大到課外，以便更有利于學(xué)生掌握的知識(shí)。

6.課后應(yīng)用拓展

對(duì)于課上所學(xué)的知識(shí)，學(xué)生通過練習(xí)訓(xùn)練，對(duì)課本上的知識(shí)已經(jīng)掌握，教師可以選取一些和課本相同考點(diǎn)的題目，進(jìn)行題目變形，對(duì)學(xué)生進(jìn)行課下的拓展練習(xí)，鞏固所學(xué)的圓錐曲線的新知識(shí)。例如：為了訓(xùn)練學(xué)生類比圓錐曲線的性質(zhì)，教師選取一道題目，幫助學(xué)生們進(jìn)行思考，如：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是4/9，試求點(diǎn)M的軌跡方程，并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀。通過上述的題目，為后面的知識(shí)做好一些鋪墊。