詩意數(shù)學(xué)
——直線的斜率

江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 丁明明

只要我們用心體會(huì)，生活中無處不透露著數(shù)學(xué)之美。數(shù)學(xué)來源于生活，以生活為出發(fā)點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)插上詩意的翅膀，不僅可以讓原本抽象難懂的數(shù)學(xué)充滿詩意、趣味，也可以讓我們用更具體的意向來理解數(shù)學(xué)中的公式、內(nèi)容。 筆者以“直線的斜率”這堂課為例，課堂加入詩的意境，讓課堂更加活潑開放，在詩情畫意中感受思維的內(nèi)涵，體會(huì)數(shù)學(xué)之美。

開場白：數(shù)學(xué)充滿理性，詩歌卻是滿滿的感性，若能兩者結(jié)合，將是一種完美的呈現(xiàn)，正如我的學(xué)生每天打開作業(yè)本的時(shí)候就像是打開一扇窗戶，感覺面朝大海，春暖花開。

看似毫不相干的兩個(gè)東西，如果我們將它放在一起，或許能創(chuàng)造出驚人的魅力。正如數(shù)學(xué)中的代數(shù)與幾何，在很久以前它們就像是兩個(gè)不相干的人，各自獨(dú)立存在著，而在笛卡爾與費(fèi)馬之后，兩者真正走到了一起。

一、問題情景

1.情景：

我鎖定一個(gè)_______，

它和我連成_______ 。

前面有許多的河，

讓我不得不轉(zhuǎn)彎。

那邊還有許多山，

忽高忽低讓我難，

誰知還有多少難，

無可奈何向前看。

師：將這首詩補(bǔ)充完整，兩處空格應(yīng)該填什么呢？

生：方向、直線。

師：人生之路要達(dá)到目的地，最快的就是走直線，而走直線最好的方法就是瞄準(zhǔn)方向。

師：今天這堂課就和大家一起來研究直線的方向。

2.問題：直線有哪些不同的方向呢？

我們到底用什么量來刻畫直線的陡峭程度呢？

二、學(xué)生活動(dòng)

問題1：觀察類比：如右圖所示，兩個(gè)不同的樓梯，如何表示它們的坡度?

通過展示樓梯的圖形，讓學(xué)生有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，體驗(yàn)坡度是由什么來確定的。

學(xué)生2：可以用角度：角度越大，坡越陡。

師：這兩種方式都非常好，這正好體現(xiàn)了兩種不同的人生態(tài)度與追求方式。用角度：每一次仰望星空，都是為了追問心靈的方向。用比值：只有腳踩大地，我們才能感受到生命的溫度。

問題2：我們可以測量有限的空間，那么無限的空間里，我們?nèi)绾伟盐漳兀课覀內(nèi)绾卧谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中去衡量呢？

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

師：當(dāng)我們給出一個(gè)定義的時(shí)候，我們需要注意幾個(gè)問題：它合理嗎？（不能自相矛盾）它全面嗎？（不能有漏網(wǎng)之魚）它準(zhǔn)確嗎？（不能模棱兩可）

1．直線的斜率

定義：已知兩點(diǎn)P（x，y），Q（x2，y2）， 如果x1≠x2，那么直線PQ的斜率為：

注意：與x軸垂直的直線，其斜率不存在。

2．概念辨析

思考：斜率是一條直線的傾斜程度的數(shù)量化，是直線本身固有的性質(zhì)，但是斜率可以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)給出，那么斜率公式與這兩點(diǎn)的順序是否有關(guān)？與直線上兩點(diǎn)的位置選擇是否有關(guān)？為什么？

引導(dǎo)學(xué)生思考并回答：（1）通過斜率公式本身來理解；（2）通過相似三角形來理解。

3．直線的傾斜角

（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角，并規(guī)定：與x軸平行或者重合的直線的傾斜角為0°。

（2）范圍：α∈[0°，180°）。

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1 直線l1，l2，l3都經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），又l1，l2，l3分別經(jīng)過點(diǎn) Q1(-2，-1)，Q2（4，-2），Q3（-3,2）。試計(jì)算直線 l1，l2，l3的斜率。

點(diǎn)評(píng)：（1）本例意在鞏固斜率公式；（2）k＞0，k＜0，k=0及k不存在時(shí)直線的形狀，讓學(xué)生通過畫圖體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合。

探究問題：觀察各直線的特點(diǎn)，你能說說各直線的方向與它的斜率的關(guān)系嗎？為什么？

引導(dǎo)學(xué)生回答：當(dāng)k＞0時(shí)，直線從左下到右上傾斜；當(dāng)k＜0時(shí)，直線從左上到右下傾斜；當(dāng)k=0時(shí)，直線與x軸平行或者重合。可從斜率公式本身解釋。

師：做到這里我們不禁想到：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層。

探索：斜率和傾斜角都能反映一條直線的傾斜程度，其中斜率側(cè)重于“數(shù)”，傾斜角側(cè)重于“形”，那么它們之間的關(guān)系怎樣？

分直線的傾斜角為銳角（見圖1）和直線的傾斜角為鈍角（見圖2），啟發(fā)學(xué)生利用斜率的定義發(fā)現(xiàn)：k=tanα（注：tan（180°-α）=tanα）

點(diǎn)評(píng)：（1）直線的傾斜角α是角且總是存在的，范圍是0°≤α＜180°，而直線的斜率k是實(shí)數(shù)但未必總是存在的。

（2）①當(dāng)α≠90°時(shí)，k=tanα；②當(dāng)α=90°時(shí)，k不存在；③當(dāng)α=0°時(shí)，k=0；④當(dāng)α為銳角時(shí)，k＞0且k隨α的增大而增大；⑤當(dāng)α為鈍角時(shí)，k＜0且k隨α的增大而增大。

師點(diǎn)評(píng)：天下同歸而殊途，一致而百慮。

例2 如右圖，比較四條直線斜率的大小：

五、回顧小結(jié)

1.經(jīng)過兩點(diǎn)的斜率計(jì)算公式；

2.直線傾斜角的概念；

3.直線的斜率與傾斜角的關(guān)系。

直線的斜率為蘇教版解析幾何的第一堂課，所以這堂課也是學(xué)生對(duì)于解析幾何認(rèn)識(shí)的開始。

對(duì)于這堂課，筆者有如下思考：

1.詩意數(shù)學(xué)，那是感性與理性的碰撞，而解析幾何正是數(shù)和形的完美結(jié)合，要讓學(xué)生感受到詩的意境，但同時(shí)不會(huì)忘記，這是一堂數(shù)學(xué)課，學(xué)生最終要收獲的是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維能力。所以整堂課的主要脈絡(luò)是以數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建為線索展開的，詩意可以看作是一種語言。

2.以一首詩為切入點(diǎn)，引出直線與方向，以一種生動(dòng)活潑的形式進(jìn)入這堂課的主題，讓學(xué)生充滿好奇與期待。在選擇直線方向的時(shí)候，利用生活的意境進(jìn)行引入，從具體到一般抽象出一般性問題。而這堂課的主要脈絡(luò)是傾斜角與斜率兩條脈絡(luò)，這兩條脈絡(luò)筆者解釋為仰望星空與腳踏實(shí)地兩種不同的方式，既是一種類比，也是角度的不同，選擇故而不同，而兩者的聯(lián)系正是數(shù)和形的結(jié)合，也正是兩種不同姿態(tài)的需求。

3.對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)方法的總結(jié)可以利用詩句的意境進(jìn)行類比體會(huì)，用一種更為豐富的語言進(jìn)行詮釋，更能體會(huì)數(shù)學(xué)的意境所在，同時(shí)也更好地說明了數(shù)學(xué)與生活的緊密相連。整堂課似乎在說詩，但其內(nèi)涵都是數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)更加豐富、更加魅力。

總而言之，數(shù)學(xué)之美無窮無盡，如果我們帶著審美的姿態(tài)去學(xué)數(shù)學(xué)、教數(shù)學(xué)，不僅能夠讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，也是在體會(huì)數(shù)學(xué)的精髓，詩意數(shù)學(xué)只是一種小小的嘗試，數(shù)學(xué)的博大需要我們一直去探索。