在高中數學教學中培養學生的創新思維能力

西藏昌都市第三高級中學 王 超

一、函數教學的創新實例應用

本題是單調區間的逆用，要讓學生明確知道已知單調區間，就相當于告訴我們導函數的正負。根據f＇（x）的正負列出不等式，轉化成不等式的恒成立問題，然后再運用函數的性質解題。這里面比較有技巧的是cosx的代換，把cosx這個不確定的量看成一個整體來求，從而把三角函數變成我們所熟悉的二次函數問題，其實這也體現了化歸法。學生需要對二次函數的知識很熟悉，就能很容易地看出這是一個二次函數。

二、最值的教學實例應用

函數的最值包括最大值和最小值，這也是非常熱門的考點之一。比較簡單易求的一類是不含參量的求最值，給出在某一區間內連續并且可導，只需求函數在這個區間上的極值。極值可以通過函數求導分析，極值并不一定是最值，得到的極值還要與區間頭尾的函數值進行比較。學生比較困難的是帶有參量的函數求最值的數學問題。

解：（1）f(x)的定義域為（-∞，-2）∪（-2，+∞）。當且僅當x＝0時，f'(x)＝0，∴f(x)在（-∞，-2）∪（-2，+∞）上單調遞增，∴當x∈（0，+∞）時，f(x)＞f(0)＝-1。

∴（x-2）·ex+x+2＞0。

由（1）可知f (x)+a單調遞增，對于任意a∈[0，1]，f(0)+a＝a-1＜0，f (2)+a＝a≥0，所以存在唯一的x0∈（0，2），使得f(xa)+a＝0，即g'(xa)＝0，當0＜x＜xa時，f(x)+a＜0， g'(x)＜0， g(x)單調遞減：當x＞xa時，f(x)+a＞0，g'(x)＞0，g(x)單調遞增。∴g(x)在x＝xa處取極小值，極小值為單調遞增。由xa∈（0，2），得單調遞增，對于唯一的xa∈（0，2），a＝-f（xa）∈[0，1），使得

綜上所述，當a屬于[0，1]時，g（x）有最小值h（a），h（a）的值域是

本題運用求導的微積分理論。將g＇（x）的正負號判斷問題靈活地轉化為f（x）+a正負符號的判斷的問題。從訓練中學生能夠熟練運用微積分理論和一些函數的知識，根據導函數值的正負符號判斷原函數的圖象特征，求出最小值。

此外，三角函數的求導是學生的易錯點，前面是否需要轉變符號經常弄錯。在第一次講解三角函數求導要注重培養學生的主動探究能力，通過圖形幫助學生理解，然后再記憶求導公式。實際問題大多時候比字數寥寥直截了當的微積分理論問題要來得簡單，因為它是實際問題，求出來的答案在檢驗時可以聯系實際。

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