對一道微分方程通解的質疑的解釋的思考

安徽省合肥幼兒師范高等專科學校基礎部 張海濤

寇冰煜、張燕、毛磊三先生在文獻[1]中對一階線性非齊次微分方程通解的質疑做出了兩點解釋，乍一看，似乎與文獻[2]所提觀點相左，但究其實質是從另一個側面印證了文獻[2]的觀點，那就是一階線性非齊次微分方程通解：表達形式不嚴謹。

理由如下：

2.根據函數思想，將具體的p(x)和Q（x）代入文[3]所給的通解表達式中得出具體題目的通解，也是順理成章的事。因為所給出的通解形式中借用了不定積分的形式，所以立即從不定積分的角度對這一結論進行了質疑：每次選取C的值未必一定對應相等，即未必有C2=C3的結論，從而得到結論“通解形式不嚴謹”，也是無可厚非的。誠然，寇冰煜等的解釋也是言之成理的，但只能算作是對通解形式的一個補充解釋而已，這對于剛剛學習微積分的學生而言是不能夠理解的，而且此解釋是一種事后解釋，一種自圓其說的解釋，說勉強也不為過。筆者認為文獻[3]應在給出其通解形式的同時，做出必要的說明，如寇冰煜等所說的，還有可能被學生接受，否則容易誘導學生養成不嚴謹的習慣。以上問題的根源在于這種通解形式不嚴謹，換言之，就是這種用不定積分表示的通解不是我們平常意義上的通解，而是其廣義上的通解，未必都適合方程。

3.寇冰煜、張燕、毛磊三先生在文獻[1]中提到：

考察一下可分離變量的微分方程

的通解問題，根據微分方程的初始值問題的解的存在性和唯一性定理，對于定義域中的每一點方程（4）有且只有一個以為初始值的解。按常規方法，分別考察2種情況：

由此，得到的方程一階線性非齊次微分方程

任意常數）。

這也就說明了文獻[1]開始所提到的，公式中的所有帶有不定積分符號的計算結果其實都是某一特定的原函數，即只是將公式中的看成了某個函數的記號，而不再是通常意義上的一族函數的記號。從這側面印證了文獻[2]的觀點是正確的，即通解形式不嚴謹。

鑒于此，筆者認為寇冰煜、張燕、毛磊三先生最后得出的結論應為“文獻[3]或[6]或[7]所提供的通解形式有不嚴謹之處，但能得到合理的解釋，為兼顧各種因素，建議將其通解形式改為變上限的定積分形式”，稍感缺憾，她們沒有得出此結論，而是得出與文獻[1]相左的結論，其說理過程從實質上講是與其結論相左的。

【參考文獻】

[1]寇冰煜，張燕，毛磊，對一道微分方程通解的質疑的解釋[J]．高師理科學刊，2011，31（6）．

[2]汪維剛．對一道微分方程通解的質疑[J]．高師理科學刊，2011，31（2）：54-55．

[3]侯風波．高等數學[M]．北京：高等教育出版社，2003：144-145．

[4]陳向華．關于微分方程解的幾點解釋[J]．陰山學刊，2007（3）：16-17．

[5]王春草．常數變易法在求解微分方程中的應用[J]．楊凌職業技術學院學報，2007，6（4）：43-44

[6]同濟大學應用數學系．高等數學[M]．北京： 高等教育出版社，2002：261-279

[7]復旦大學數學系．常微分方程[M]．上海：上海科學技術出版社，1962：12-24