用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示2017年高考江蘇物理卷第15題

羅志恒

(江蘇省蘇州第十中學(xué) 江蘇 蘇州 215006)

【問題】(2017年高考江蘇物理試題第15題)一臺(tái)質(zhì)譜儀的工作原理如圖1所示.大量的甲、乙兩種離子飄入電壓為U0的加速電場(chǎng)，其初速度幾乎為零，經(jīng)過加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著與磁場(chǎng)垂直的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，最后打到照相底片上.已知甲、乙兩種離子的電荷量均為+q，質(zhì)量分別為2m和m，圖中虛線為經(jīng)過狹縫左、右邊界M和N的甲種離子的運(yùn)動(dòng)軌跡.不考慮離子間的相互作用.

圖1 題圖

(1)求甲種離子打在底片上的位置到N點(diǎn)的最小距離x；

(2)在答題卡的圖中用斜線標(biāo)出磁場(chǎng)中甲種離子經(jīng)過的區(qū)域，并求該區(qū)域最窄處的寬度d；

(3)若考慮加速電壓有波動(dòng)，在(U0-ΔU)到(U0+ΔU)之間變化，要使甲、乙兩種離子在底片上沒有重疊，求狹縫寬度L滿足的條件.

分析：本題涉及到的物理知識(shí)有離子經(jīng)過加速電場(chǎng)加速和離子經(jīng)過勻強(qiáng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，物理知識(shí)比較清晰，學(xué)生對(duì)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)也是比較熟悉的.

但是要解決第(2)和(3)小題，則需要學(xué)生有敏銳的幾何圖像觀察能力和作圖分析能力.

幾何畫板是一種操作簡單、功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，尤其在動(dòng)態(tài)作圖方面有很好的實(shí)用效果.下面就用幾何畫板來動(dòng)態(tài)演示這一問題.

(1)如圖2所示，甲離子經(jīng)過電壓為U0的加速電場(chǎng)加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著與磁場(chǎng)垂直的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，由于受到洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從M點(diǎn)進(jìn)入的甲離子運(yùn)動(dòng)到M′點(diǎn)，圓心為O1；從N點(diǎn)進(jìn)入的甲離子運(yùn)動(dòng)到N′點(diǎn)，圓心為O2.

圖2 (1)問分析圖

因此甲種離子打在底片上的位置到N點(diǎn)的最小距離就是M′N，即

M′N=MM′-MNM′N=2R甲-L

因此可以求出最小距離

(2)題目中給出的圖像看不出甲種離子經(jīng)過的區(qū)域有最窄處，所以首先必須先找到該區(qū)域最窄處，這有一定的難度.

選取M,N和MN的中點(diǎn)這3個(gè)點(diǎn)，用幾何畫板畫出甲種離子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域后的軌跡，并把MN的距離L適當(dāng)調(diào)大，便能清楚地看到線段EF就是最窄處的寬度,如圖3所示.

結(jié)合第(1)小題求出的

得

圖3 (2)問分析圖

利用幾何畫板，分別畫出甲、乙兩種離子從M點(diǎn)和N點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后的軌跡,如圖4所示.

圖4 (3)問分析圖

因?yàn)橐译x子的偏轉(zhuǎn)半徑小，所以乙離子打到底片的M′′N′′之間；因?yàn)榧纂x子的偏轉(zhuǎn)半徑大，所以甲離子打到底片的M′N′之間.

加速電壓有波動(dòng)，在(U0-ΔU)到(U0+ΔU)之間變化，對(duì)于同一種離子，加速電壓越大，則加速后的速度越大，偏轉(zhuǎn)半徑越大.

要使甲、乙兩種離子在底片上沒有重疊，只要滿足乙離子到達(dá)底片最遠(yuǎn)的距離小于甲離子到達(dá)底片最近的距離，即

MN+2R乙max<2R甲min

當(dāng)加速電壓為U0-ΔU時(shí)，甲離子加速后獲得的速度最小，對(duì)應(yīng)到達(dá)底片的距離最近，即

當(dāng)加速電壓為U0+ΔU時(shí)，乙離子加速后獲得的速度最大，對(duì)應(yīng)到達(dá)底片的距離最遠(yuǎn)，即

代入，可求得狹縫寬度L滿足的條件，即

結(jié)論：本題的難點(diǎn)就在于要把物理的動(dòng)態(tài)過程用幾何圖像反映出來，一旦有了清晰的幾何圖像，物理問題就能很快求解出來.

一道物理問題的求解，離不開清晰的物理過程，也離不開有力的數(shù)學(xué)工具的輔助.只有數(shù)、理的有機(jī)結(jié)合，才能在解決問題的過程中鍛煉思維能力.