如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)基本思想
——以《二次函數(shù)》為例

江蘇省太倉(cāng)市明德初級(jí)中學(xué) 陸 漓

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的頒布實(shí)施，標(biāo)志著我國(guó)基礎(chǔ)教學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革進(jìn)入了一個(gè)全新的階段。新課標(biāo)中最大的改變莫過(guò)于將“雙基”變“四基”，“兩能”變“四能”，而基本思想作為“四基”之一，首次明確地在《課標(biāo)》中提出。那么，什么是數(shù)學(xué)基本思想呢？數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括。數(shù)學(xué)基本思想則在其中處于較高層次，其他的數(shù)學(xué)思想都可以由這些“數(shù)學(xué)基本思想 ”演變而來(lái)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心與精髓，教師在教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生了解和體會(huì)數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者將結(jié)合《二次函數(shù)》一課，重點(diǎn)從如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本思想來(lái)談?wù)勛约旱南敕ā?/p>

一、尋找學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，用數(shù)學(xué)基本思想架起新舊知識(shí)的橋梁

師：小時(shí)候，我們都在河邊玩過(guò)“打水漂”，同學(xué)們有沒有注意過(guò)最后石頭落水激起的波紋，它不斷地向外擴(kuò)展，所形成的圓周長(zhǎng)C與半徑r的關(guān)系是什么？

師：上述關(guān)系式是函數(shù)嗎？

生：是的。

師：它是什么函數(shù)呢？

生：一次函數(shù)。

師：它的一般表示形式是什么呢？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生自主尋找“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間產(chǎn)生一座無(wú)形的橋梁。為接下來(lái)類比一次函數(shù)獲得二次函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力，滲透類比的數(shù)學(xué)思想。

二、引導(dǎo)學(xué)生親自經(jīng)歷將生活中的實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，讓數(shù)學(xué)思想滲透進(jìn)生活

師：石頭落水激起的波紋不斷擴(kuò)大的圓面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式又是什么呢？

師：這個(gè)關(guān)系式是一次函數(shù)嗎？

生：不是。

師：為什么呢？

生：r上面的指數(shù)是2，不是1。

師：那它是什么函數(shù)呢？

生：二次函數(shù)。

師：對(duì)，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的二次函數(shù)，那同學(xué)們能告訴我什么是二次函數(shù)嗎？

生：……

師：那老師再給大家兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，看你們能不能用函數(shù)關(guān)系式表示它們？

問(wèn)題1：我們學(xué)校在2015年的時(shí)候全校人數(shù)為800人，2017年人數(shù)為y人，若每年的增長(zhǎng)率不變，則y與年平均增長(zhǎng)率x的關(guān)系式是什么呢？

問(wèn)題2：學(xué)校開設(shè)的勞技課中，要用周長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，那么場(chǎng)地面積h(m2)與矩形一邊長(zhǎng)x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是什么呢？

【設(shè)計(jì)意圖】在函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，能滲透數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)抽象思想。本節(jié)課是由學(xué)生熟悉的生活情景入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系，寫出函數(shù)關(guān)系式的過(guò)程，感受將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的基本思想。在這個(gè)過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思想；滲透類比思想，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描繪這個(gè)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

三、讓學(xué)生在對(duì)知識(shí)的反復(fù)理解和運(yùn)用中實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的模仿到初步應(yīng)用，最后達(dá)到自覺應(yīng)用階段

師：已知函數(shù)y=（a+2）x2+x-3是關(guān)于x的二次函數(shù)，求常數(shù)a的取值范圍。哪位同學(xué)有解題思路了？

師：思路很清晰，有疑問(wèn)嗎？

生：沒有。

師：變式1：m取哪些值時(shí)，函數(shù)y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x為自變量的二次函數(shù)？怎樣思考？快速搶答思路。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)二次函數(shù)中的三個(gè)常數(shù)及自變量最高次的現(xiàn)實(shí)意義題型的反復(fù)練習(xí)，變式訓(xùn)練，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移思想和應(yīng)變能力。

四、引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)反思，用數(shù)學(xué)的思想回顧知識(shí)生成和運(yùn)用的過(guò)程，提煉本節(jié)課的本質(zhì)和精髓

1.回顧、梳理二次函數(shù)概念生成的過(guò)程。

2.揭示探究過(guò)程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想。

3.生活中的二次函數(shù)問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】小結(jié)反思，回顧過(guò)程，既包括顯性的知識(shí)獲得，也包括隱性的思想方法；既包括個(gè)人的收獲，還包括群體的智慧。從生活引入，再回到生活中去。

一節(jié)課下來(lái)，學(xué)生在類比思想的幫助下，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上獲得了新知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，并應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)方法的遷移，使得數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的思維能力得到了發(fā)展。在教學(xué)中，我們除了關(guān)注“雙基”，更要關(guān)注思想的本質(zhì)，有效提高學(xué)生的思維能力。通過(guò)題型的轉(zhuǎn)化、變式和化規(guī)，把學(xué)生零散孤立的知識(shí)點(diǎn)整合在一起，用一條主線將知識(shí)點(diǎn)都串聯(lián)起來(lái)，還要理解“本質(zhì)”間的相互聯(lián)系，形成知識(shí)體系，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[1]徐曉燕.基于初中數(shù)學(xué)核心概念及其思想方法的概念教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（6）.

[2]劉辰.基于初中數(shù)學(xué)核心概念及其思想方法的概念教學(xué)[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（7-8）.

[3]王炯廉.回歸課堂教學(xué)，有效培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——以微專題《直線與圓的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（4）.

[4]章民.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)實(shí)踐與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2017（3）.

[5]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.