如何培養初中生的數學基本思想
——以《二次函數》為例

江蘇省太倉市明德初級中學 陸 漓

《義務教育數學課程標準（2011年版）》的頒布實施，標志著我國基礎教學中學數學課程改革進入了一個全新的階段。新課標中最大的改變莫過于將“雙基”變“四基”，“兩能”變“四能”，而基本思想作為“四基”之一，首次明確地在《課標》中提出。那么，什么是數學基本思想呢？數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。數學基本思想則在其中處于較高層次，其他的數學思想都可以由這些“數學基本思想 ”演變而來。數學思想是數學教學的核心與精髓，教師在教學活動中應該努力反映和體現數學思想，讓學生了解和體會數學思想，提高學生的數學核心素養。筆者將結合《二次函數》一課，重點從如何培養學生的數學基本思想來談談自己的想法。

一、尋找學生的最近發展區，用數學基本思想架起新舊知識的橋梁

師：小時候，我們都在河邊玩過“打水漂”，同學們有沒有注意過最后石頭落水激起的波紋，它不斷地向外擴展，所形成的圓周長C與半徑r的關系是什么？

師：上述關系式是函數嗎？

生：是的。

師：它是什么函數呢？

生：一次函數。

師：它的一般表示形式是什么呢？

【設計意圖】引導學生自主尋找“最近發展區”，使學生原有的知識結構與新知識之間產生一座無形的橋梁。為接下來類比一次函數獲得二次函數的概念奠定基礎，培養學生知識遷移的能力，滲透類比的數學思想。

二、引導學生親自經歷將生活中的實際問題抽象成數學模型的過程，讓數學思想滲透進生活

師：石頭落水激起的波紋不斷擴大的圓面積S與半徑r之間的函數關系式又是什么呢？

師：這個關系式是一次函數嗎？

生：不是。

師：為什么呢？

生：r上面的指數是2，不是1。

師：那它是什么函數呢？

生：二次函數。

師：對，這就是我們今天要學習的二次函數，那同學們能告訴我什么是二次函數嗎？

生：……

師：那老師再給大家兩個實際問題，看你們能不能用函數關系式表示它們？

問題1：我們學校在2015年的時候全校人數為800人，2017年人數為y人，若每年的增長率不變，則y與年平均增長率x的關系式是什么呢？

問題2：學校開設的勞技課中，要用周長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，那么場地面積h(m2)與矩形一邊長x(m)之間的函數關系式是什么呢？

【設計意圖】在函數學習過程中，能滲透數學建模思想和數學抽象思想。本節課是由學生熟悉的生活情景入手，引導學生經歷探究實際問題中兩個變量之間的數量關系，寫出函數關系式的過程，感受將實際問題數學化的基本思想。在這個過程中，進一步發展學生的數學抽象思想；滲透類比思想，用數學語言描繪這個世界，發展數學建模素養。

三、讓學生在對知識的反復理解和運用中實現對數學基本思想的模仿到初步應用，最后達到自覺應用階段

師：已知函數y=（a+2）x2+x-3是關于x的二次函數，求常數a的取值范圍。哪位同學有解題思路了？

師：思路很清晰，有疑問嗎？

生：沒有。

師：變式1：m取哪些值時，函數y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x為自變量的二次函數？怎樣思考？快速搶答思路。

【設計意圖】通過對二次函數中的三個常數及自變量最高次的現實意義題型的反復練習，變式訓練，進一步培養學生的知識遷移思想和應變能力。

四、引導學生小結反思，用數學的思想回顧知識生成和運用的過程，提煉本節課的本質和精髓

1.回顧、梳理二次函數概念生成的過程。

2.揭示探究過程所蘊含的數學基本思想。

3.生活中的二次函數問題。

【設計意圖】小結反思，回顧過程，既包括顯性的知識獲得，也包括隱性的思想方法；既包括個人的收獲，還包括群體的智慧。從生活引入，再回到生活中去。

一節課下來，學生在類比思想的幫助下，在舊知識的基礎上獲得了新知識生長點，并應用在實際問題中，實現知識方法的遷移，使得數學建模和數學抽象的思維能力得到了發展。在教學中，我們除了關注“雙基”，更要關注思想的本質，有效提高學生的思維能力。通過題型的轉化、變式和化規，把學生零散孤立的知識點整合在一起，用一條主線將知識點都串聯起來，還要理解“本質”間的相互聯系，形成知識體系，有效培養學生的數學基本思想，進而培養學生的數學核心素養。

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