對(duì)一道數(shù)學(xué)幾何題的探究與思考

江蘇省太倉(cāng)市沙溪第一中學(xué) 朱 燕

一個(gè)好的數(shù)學(xué)老師要對(duì)他所教授的知識(shí)和技能“了如指掌”，能夠從單一的題目出發(fā)全面地看清整個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)，才能夠使自己的課堂深入淺出達(dá)到高效。這就要求老師在研究題目時(shí)，不但要會(huì)求解、引導(dǎo)學(xué)生求解，還要對(duì)題目進(jìn)行更加深入的探索和發(fā)揮，用聯(lián)系的觀點(diǎn)使一題變“三隅”，同時(shí)也便于實(shí)施教學(xué)重難點(diǎn)的突破和安排解題教學(xué)之后的變式訓(xùn)練。下面筆者就教學(xué)中遇到的一道幾何題進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，并提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

一、原題呈現(xiàn)

如圖，在△ABC中， ∠BAC=90 °，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=BA，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且CE=CA。（1）試求∠DAE的度數(shù)；（2）如果把原題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會(huì)改變嗎？為什么？（3）將原題中“∠BAC=90°”改成“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

二、嘗試解答

學(xué)生拿到題目比較興奮，幾乎無(wú)阻礙地就解決了第（1）小題，解決途徑主要有兩種：①將∠DAE看作∠DAC與∠CAE之和；②將∠DAE看作△ADE的內(nèi)角，利用三角形內(nèi)角和或外角性質(zhì)解決問(wèn)題。之所以能順利解決該小題，是因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，可得∠B=∠ACB=45°，接著利用等腰三角形的等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出圖中某些角的度數(shù)。但是進(jìn)入第（2）小題時(shí)教室安靜了下來(lái)，雖然學(xué)生猜想角度不會(huì)變，但不知如何解答，解決問(wèn)題的思維遇到阻礙。

三、分析引導(dǎo)

第（1）小題應(yīng)該是問(wèn)題解決的起點(diǎn)，何以能解決∠DAE的度數(shù)，關(guān)鍵是利用∠B與∠ACB的度數(shù)能求出其余角。那為何第（2）小題讓學(xué)生覺(jué)得無(wú)從下手呢？關(guān)鍵還在于學(xué)生不能從特殊到一般地做關(guān)聯(lián)性探究。所以，講題要設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，給學(xué)生以引導(dǎo)。在第（2）小題學(xué)生遇到思維瓶頸時(shí)，教師適時(shí)拋出問(wèn)題：“請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍o定∠B（或∠ACB）一個(gè)度數(shù)（0°～90°），再求出∠DAE的度數(shù)。”多次嘗試后學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)本題的關(guān)鍵所在，分析出事物運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律及相互制約的因素，參變量自然而然就引出來(lái)了。

解題策略：設(shè)∠B的度數(shù)為x（0°＜x＜90°）,則∠ACB=90°-x，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠BDA=90°最后由三角形外角性質(zhì)可求得∠DAE=45°。

由于有了第（2）小題做鋪墊，學(xué)生在思考第（3）小題時(shí)已滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，引入相關(guān)變量作為參數(shù)，以參變量為橋梁，溝通變量之間的聯(lián)系，明確相關(guān)幾個(gè)變量之間的關(guān)系，那么就會(huì)有利于揭示運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)規(guī)律，而且能把變化中的多個(gè)狀態(tài)統(tǒng)一體現(xiàn)于一個(gè)字母化的參變量上，借用統(tǒng)一的表達(dá)式進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)以“靜”——不變的表達(dá)式，制“動(dòng)”——不同的狀態(tài)，為研究運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的共性規(guī)律拓寬渠道。

解題策略：設(shè)∠B的度數(shù)為x（0°＜x＜90°）,則∠ACB=x，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=180°-2x，最后由三角形外角性質(zhì)可求得∠DAE=90°-x，由此可發(fā)現(xiàn)

四、問(wèn)題再探

將原題中“∠BAC=90°”改成“∠BAC＞90°”，并且刪除條件“AB=AC”，其余條件不變，那么還成立嗎？

解題策略：本題中∠B與∠ACB沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)，所以需要引入兩個(gè)參變量。可設(shè)∠B的度數(shù)為x，∠ACB的度數(shù)為y（0°＜x＜90°，0°＜y＜90°）,則由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=180° -x-y，最后由三角形外角性質(zhì)可求得∠DAE=90°由此可發(fā)現(xiàn)∠BAC,結(jié)論仍成立。

五、知識(shí)遷移

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D、E在斜邊AB上， 且BA=BD，CA=CE,求：①∠DAE的度數(shù)；②將原題中“∠BAC=90°”改成“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

合理的變式訓(xùn)練是對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的梳理過(guò)程，也是提取數(shù)學(xué)思想方法、加強(qiáng)知識(shí)應(yīng)用、完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)概括的關(guān)鍵時(shí)刻，此時(shí)要求學(xué)生正確剖析并提取其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

解 題 策 略： ① 設(shè) ∠B的 度 數(shù) 為x（0° ＜x＜90°）,則∠C=90°-x，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得最后由三角形內(nèi)角和定理可求得∠DAE=45°。②本題中∠B與∠C沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)，所以需要引入兩個(gè)參變量。可設(shè)∠B的度數(shù)為x，∠C的度數(shù)為y（0°＜x＜90°，0°＜y＜90°）,則∠BAC的度數(shù)為180°-x-y，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得最后由三角形內(nèi)角和定理可求得由此可發(fā)現(xiàn)

六、感悟

“從特殊到一般”是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)思路，對(duì)題目進(jìn)行拓展變式恰好利用了這種研究思路，同時(shí)對(duì)題目深度探究也是數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究的重要組成部分，更是教師提升教學(xué)效果、升華學(xué)生思維和技能的重要途徑，因此，只有教師善于做并經(jīng)常做這項(xiàng)工作，才能將“樹(shù)木”變成“森林”。問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)，是關(guān)注起始問(wèn)題提供的起點(diǎn)，一是知識(shí)起點(diǎn)，二是方法起點(diǎn)，但經(jīng)驗(yàn)也要再積累。有的題目從小問(wèn)題提供的知識(shí)起點(diǎn)或方法起點(diǎn)就能直接用于問(wèn)題解決，有的題目卻難以奏效，這時(shí)候就必須把起點(diǎn)從特殊向一般轉(zhuǎn)化。

教師在解題教學(xué)備課時(shí)，解完一個(gè)題之后不要著急去解下一個(gè)題，而是回顧一下自己解題的全過(guò)程，聯(lián)想一下題目中的條件逐漸減弱結(jié)論是否還成立，如把特殊角變成一般角；反之，將條件逐漸加強(qiáng)能否產(chǎn)生新的結(jié)論。如果教師把這一項(xiàng)工作做到精致并呈現(xiàn)在課堂中，那么學(xué)生也會(huì)覺(jué)得上課干凈利索，課堂有一個(gè)中心思想。現(xiàn)代教育要求培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，既然要求學(xué)生將來(lái)有這樣的素養(yǎng)，那么教師要首先做到。如果一個(gè)教師的課堂總是就題論題，不能推陳出新，不能從聯(lián)系的觀點(diǎn)看待零散的問(wèn)題，不能從特殊到一般地研究問(wèn)題，就不能夠在行為上和思想上潛移默化地影響學(xué)生，那么只具有“言傳”而缺乏“身教”的課堂的效率就會(huì)大打折扣。

[1]董林偉.從形式走向本質(zhì)：關(guān)于初中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)的思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（11）：2-5.

[2]黃慶鋒.學(xué)習(xí)遷移理論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究——培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移能力的探索[D].上海師范大學(xué)，2012：21-30.