有序事物聚類分析

郭嘉梁

摘 要：分類是人類認識世界的客觀需要，人類就是依靠分類認識世界的。有一些有順序的事物不能簡單的依靠它們的屬性去分類，分類的時候不能破壞它們之間的順序。這時候就需要運用有序事物的聚類分析的方法。

關鍵詞：聚類分析 分類 有序事物

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2017）12-0-01

分類是人類認識客觀世界的基本方法之一，人們把所研究的對象分成若干類，然后分門別類的進行仔細的研究，從而加深對事物的認識。將每個事物都看作數學空間中的一點，在這個數學空間中規定兩點的距離，以距離來表示事物的差別。分類時，常把距離靠近的點歸為一類，這種方法叫做聚類分析法。聚類分析是我們實際生活和工作中常用的分類工具之一，它按照研究的目的，找出物與物之間的相同點和類與類之間的差異，使我們在解決不同類問題時具有很強的針對性，能做到“具體問題具體分析”[1]。

聚類的一般步驟是先確定一個方式用來確定事物之間的距離，用以表示事物之間的差別，同時規定出類與類之間的距離，表示類的差別。開始分類的時候，假設有100個事物，此時可以視為100個類，此時類和類之間的距離就是事物間的距離，將距離較小的類合并，重新計算新類和剩余類的距離，再將距離最近的類合并，這樣每次都減少類的數目，最終減少到滿足聚類的要求為止，是一種逐步合并的聚類方法。

許多實際問題都是按照一定的順序排列的，如兒童的年齡、朝代的順序、地質勘探的按地層的深淺排序等。對于這種有順序的事物的分類，不能夠打亂它們本身的順序[2]。有序事物分類顯著體現在嬰幼兒的奶粉上，現在的父母對孩子傾注了很大的心血和很多的疼愛。尤其對于嬰幼兒時期的哺育，奶粉生產商們生產了0-6個月、7-12個月、1-3歲、3歲以上幾個階段。這樣分段就是為了使奶粉的營養成分比例適合各階段的寶寶們的身體需要和消化能力。

下面我們以兒童的成長體重的增長表示1-11歲兒童的成長。

從表格中可以獲得一些簡單的信息，比如明顯發現1歲的兒童成長速度極快，6歲兒童的體重增長最慢。但是如果要給兒童發育分段，應該如何分段呢？好的分類方法，需要使同一類事物之間的差別盡可能小，而不同類之間的差別盡可能大。這樣才能夠有一定的區分度，分出同類和異類。

首先我們確定一下應該將數據分為幾類，使它既能夠顯著看出各類的不同，也能夠使同一類內部的區別不大。假設我們先將數據分為3段，可以理解為在數據的間隔中放入兩個“擋板”，一共有種方法[3]。一般來說，表示同類事物之間的差別，計算每一類中的方差是比較好的辦法，但是計算方差的話計算量比較大，這里我們選用極差的方法來表示類內的差別。

比如先將數據分為{1，2，3，4}，{5，6}，{7，8，9，10，11}三類，第一組內的極差=9.3-1.7=7.6，第二組的極差=1.5-1.3=0.2，第三組的極差=2.3-1.4=0.9.為了度量這種分類方法的好壞，我們引入一個概念優劣指標K，K為各分組的平均差異，即K=。然后我們將數據分成另一個分組{1，2，3}，{4，5，6，7，8}，{9，10，11}。然后分別計算它的極差，可以得到三組的極差分別是7.5，0.7，0.4。然后計算。由此我們判斷這種分類方式優于上一種。然后需要分別將45種分類方式分別按照這種方式計算出K的值，最終可以得到的結果是分類成{1}，{2，3，4，5，6，7}，{8，9，10，11}的分組方式是最佳的分類。這種分類方式的?？梢园l現這種分類方式明顯優于前面兩種。

我們只是簡單確定了一個判斷分類是否適宜的標準，那么具體應該分為幾類可以得到較好的區分效果呢？為此，我們需要去確定分為不同的類中最好的分類法，然后判斷它們的優劣指標的大小。例如將數據分為兩類的最佳分法是{1}，{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}，計算可得。

經過計算，可以得到如下結果

理論上計算需要次，即次。實際的處理中，忽略一些明顯不合適的分組，計算量稍有減少。當分為兩組的時候，K的值為0.5，相較而言比較大，且分組太粗略，不能明顯反映兒童成長階段的不同。當分成三組或是四組的時候，K的值不大，比較適宜。當分成5組以上的時候，分組過于復雜，且K值的減小不太明顯，各組區分度不夠。因此分為3或是4組比較合適。

我們對分為3類可以有如下解釋，兒童在1歲的時候是整個1-11歲階段體重成長速度最快的階段；2-7歲的時候是兒童幼兒園和上小學前的階段，8-11歲兒童的生活比較規律，也是進入青春期的時期，體重增加比較穩定。如果分為4類，那么2-7歲就可以被分為2-4歲的學齡前，此時體重增長相對1歲時變的更為緩慢，5-7歲正處于要入學或剛入學的階段，這個時期的兒童較為活潑好動，體重增加較2-4歲變得更加緩慢。

有序事物的聚類分析在生活中是得到廣泛應用的，例如氣候變化分析、高速公路的路段長度劃分、證券市場階段分析等。有序事物的聚類分析是一種行之有效的研究方法，在我們以后面對形形色色的新知識而一頭霧水、不知如何入手時，就可以采用這種方法，梳理新的知識的脈絡，最終入得寶山滿載而歸。

參考文獻

[1]劉潔.聚類分析——讓我們輕松找到事物之間的聯系[J].北京統計，2003，（09）：45-46.

[2]黃忠裕. 初等數學建模[m]. 四川：四川大學出版社，2004，223-226.

[3]上海市中學生數學知識應用競賽組織委員會. 中學數學建模與賽題集錦（第二版）[M]. 上海：復旦大學出版社，2014，105-109.endprint