教學實錄與點評：直線的點斜式方程*

江蘇省睢寧高級中學北校 (221200) 杜四趁 武瑞雪

《普通高中數學課程標準(實驗)》[1]給出本節課的教學目標：掌握直線方程的點斜式、斜截式的特點與適用范圍；能正確運用直線的點斜式、斜截式方程；感受“形”和“數”的對立和統一．教學重點：掌握直線的點斜式、斜截式方程及運用.教學難點：對直線的方程與方程的直線的對應關系的理解.

我校一位教師參加縣級優質課比賽，課題名為《直線的點斜式方程》，獲得較好名次.筆者有幸做為評委，現點評如下，以期與同行探討“新授課”的有效教學模式.所用教材為現行蘇教版.教學方法與手段主要為：導學案、先學后教、多學少教、問題引導、合作探究、當堂檢測.

1.教學實錄與點評

1.1 問題情境

圖1

問題1 斜率k與傾斜角α有什么關系？你能畫出直線的斜率k與傾斜角α的關系圖嗎？

直線的斜率k與傾斜角α的關系圖如圖1所示：

問題2 若直線l經過兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1≠x2，則直線PQ的斜率k=？

點評：通過問題1與問題2，鞏固了上節所學知識，避免了遺忘，也為學生學習新知作準備，同時，還滲透了數形結合思想.

問題3 過點A(-1，3)的直線有多少條？斜率為-2的直線有多少條？過點A(-1，3)，且斜率為-2的直線有多少條？過點A(-1，3)與B(2，5)的直線有多少條？確定一條直線需要幾個獨立條件？

生3：無數條；無數條；一條；一條；兩個.

點評：以學生熟悉的數學問題為背景，引導學生主動參與探索，通過師生共同對問題的分析和解決，使學生理解在直角坐標系中確定一條直線的獨立條件有兩個，即“一點一斜率”或者“兩點”.

1.2 學生探究

探究1 如圖2，若直線l經過點A(-1，3)，斜率為-2，點P是直線l上異于點A的任意一點，則點P的坐標(x，y)應滿足什么樣條件?

圖2

即y-3=-2[x-

(-1)]②

即2x+y-1=0③

師：點A(-1，3)的坐標滿足上述各方程嗎？

生5：點A(-1，3)的坐標滿足方程②、③，但不滿足方程①.

師：方程①出現“一個點”的殘缺！

探究2 在上述問題中，直線l上任意一點的坐標都滿足方程y-3=-2[x-(-1)]嗎？以方程

y-3=-2[x-(-1)]的解為坐標的點都在直線l上嗎？

生6：直線l上任意一點的坐標都滿足方程y-3=-2[x-(-1)].反過來，以方程y-3=-2[x-(-1)]的解為坐標的點都在直線l上．

2x+y-1=0叫做直線l的方程，而直線l叫做方程2x+y-1=0的直線.

點評：(1)讓學生自主地由直線的斜率公式，引出“直線的方程”概念，也為后面研究直線方程的點斜式做準備.

(2)通過具體實例，較易地突破了本節課的難點：對直線的方程與方程的直線的對應關系的理解.

探究3 若直線l經過點P1(x1，y1)，斜率為k，點P(x，y)是直線l上任意一點，那么點P的坐標(x，y)應滿足哪些條件?

生7：點P的坐標(x，y)應滿足y-y1=k(x-x1).

生7：不能，丟掉了點P1.

點評：由探究1到探究2，是由特殊到一般，將思考的方法、推理的過程進行類比遷移，并由此引入直線的點斜式方程.

1.3 數學理論

1.3.1 點斜式

一般地，若直線l經過點P1(x1，y1)，斜率為k，則直線l的方程為y-y1=k(x-x1)，此方程叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．

點評：“點”和“斜”是兩個獨立條件的濃縮概括，是一個極為傳神精準的命名，由此，讓學生明白方程y-y1=k(x-x1)稱為“點斜式”，是“顧名思義”.

探究4 寫出下列各直線的方程.能用點斜式方程表示嗎？

(1)直線l經過點P1(x1，y1)，且與x軸垂直；

(2)y軸所在的直線；

(3)直線l經過點P1(x1，y1)，且與y軸垂直；

(4)x軸所在的直線.

生8：(1)此直線斜率不存在，其方程不能表示為點斜式，方程為x=x1；

(2)y軸所在的直線斜率不存在，其方程不能表示為點斜式，其方程為x=0；

(3)此直線斜率為0，其方程能表示為點斜式

y-y1=0(x-x1)，即y=y1；

(4)x軸所在的直線斜率為0，其方程能表示為點斜式y-0=0(x-0)，即y=0.

師：用PPT展示此例中4道題目對應的圖形.

點評：(1)此例中4道問題涉及的都是特殊直線，加深了學生對直線的點斜式方程的理解，了解到斜率不存在(即與x軸垂直)的直線不能用點斜式方程表示.(2)通過圖形，讓學生有個直觀的感受，利于學生理解.

探究5 已知直線l的斜率為k，與y軸的交點是P(0，b)，求直線l的方程.

生9：由直線的點斜式方程，得所求直線的方程為y-b=k(x-0)，即y=kx+b.

點評：通過探究5，自然地引入直線的斜截式方程，讓學生體會到知識的建構是水到渠成、合情合理的.

1.3.2 斜截式

方程y=kx+b由直線l的斜率k和它在y軸上的截距b確定，叫做直線方程的斜截式方程．

點評：“斜”和“截”又是兩個獨立條件的濃縮概括，又一個極為傳神精準的命名.由此，讓學生明白方程y=kx+b稱為“斜截式”，也是“顧名思義”.

探究6 斜截式方程y=kx+b中的斜率k與截距b的取值范圍分別是什么？

生10：R，R.

點評：(1)讓學生了解到截距不同于距離，截距的本質是直線與y軸交點的縱坐標，所以它可正、可負、可零，它不同于“距離”這一概念，距離是恒為非負的，所以有“截距非距”之說．

(2)遺憾的是沒有適時地將斜截式方程y=kx+b與初中所學一次函數解析式進行比較！

探究7 直線的斜截式方程與直線的點斜式方程有什么關系？兩種形式的方程適用的范圍？

生11：直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的一種特殊情況.

兩種形式的方程適用范圍：直線的斜率存在.

點評：讓學生談對兩種直線方程的認識，讓學生體驗特殊與一般，個性與共性的辯證關系.

1.4 數學應用

1.4.1 例題

例求下列各直線的方程：

(1)直線經過點P(-2，3)，且斜率為2；

(生12、生13在黑板上板演)

點評：(1)教師表揚了做對的學生，讓其享受到成功的喜悅；對做錯的學生，進行了鼓勵，并引導該生對其錯因進行剖析，讓該生不但知錯，而且知其所以錯．

(2)教師對求直線方程的結果進行了規范化要求，這是非常必要的：一般寫成右邊為0，左邊按先x項，再y項，最后是常數項的順序，且x項的系數為正，各項不含分母.

1.4.2 練習

練習1 根據下列條件，分別寫出直線的方程：

(1)經過點(4，-2)，傾斜角為30°；(2)斜率為2，與x軸的交點的橫坐標為-1.

點評：在生14、生15板演后，先讓所有學生進行及時的反思，然后對照多媒體展示的正確解題過程進行自行訂正，教師沒有直接告知學生解法、答案，只是進行適當的點拔，而點撥之后，教師直接告知學生：第(2)題中直線與x軸交點的橫坐標可稱之“橫截距”，相應地，直線與y軸交點的縱坐標稱為“縱截距”，這時的直接告知應是允許的恰當的.

師：有不同意見嗎？

師：很好！此題第1、2兩空答案唯一，但第3空答案不唯一，屬于開放題.

點評：此題第3空利于培養學生的發散性思維.

練習3 在同一直角坐標系中作出直線y=2，y=x+2，y=-x+2，y=3x+2，y=-3x+2，…，這些方程表示的直線有什么共同特點？你能用一個方程表示出它們來嗎？這組直線包括所有過點(0，2)的直線嗎？

生19：這些方程表示的直線都過點(0，2)，能用一個方程y=kx+2表示，這組直線不包括過點(0，2)的直線x=0.

練習4 在同一直角坐標系中作出直線y=2x，y=2x+1，y=2x-1，y=2x+4，y=2x-4，…，這些方程表示的直線有什么共同特點？你能用一個方程表示出它們來嗎？

生20：這些方程表示的直線是一組平行直線，它們的斜率相等，縱截距不等，能用一個方程y=2x+b表示.

1.5 當堂檢測

(1)根據下列條件，分別寫出直線的方程：

①經過點(4，-2)，斜率為3； ②斜率為-2，在y軸上的截距為-2.

(2)已知k∈R，則直線y=kx+5恒過點 ；直線y=k(x+5)恒過點 ；直線y=k(x-4)+2恒過點 .

(3)直線y=k(x+1)(k>0)的圖像可能是( ).

點評：練習的設置有梯度，有層次感，適合不同層次的學生學習，真正體現了新課程理念：以學生的發展為中心；讓不同的學生在數學學習上得到不同的發展，實現了數學教學為所有學生服務，不同的人學不同的數學，人人學有用的數學．

1.6 回顧小結

(放手讓學生小結)

點評：學生小結，教師補充，體現“學生為主體，教師為主導”的教學理念.

1.7 布置作業(反饋練習)

必做題：課本第82-83習題2.1 第1題(1)、(2)、(3)，第2題.

選做題：課本第83習題2.1 第7、8、9題.

3.過點A(1，-2)、B(2，3)的直線的點斜式方程為 ，化為斜截式方程為 .

點評：分層布置作業，讓不同程度的學生都有所獲.另外，補充的第3題，讓學生認識到直線的斜截式方程可由點斜式方程轉化得到，且點斜式不唯一，斜截式唯一，同時為下節課作準備

2 總點評

2.1 優點

(1)教師的語言鏗鏘有力、富有激情，課堂氣氛活躍.

(2)教師從容不迫地分析講解，并給學生必要的思考、探究時間.

(3)學生在課前，在“導學案”引導下進行了預習，體現了“先學后教，以學定教”的教學理念，這讓學生在課堂聽講更有目的性，對于課前有疑惑之處聽得更加專注.

(4)能合理地利用問題引導、合作探究的教學手段和方法，構建知識，滲透思想、方法.

2.2 不足

(1)講完斜截式方程之后，沒有及時讓學生了解直線的斜截式方程與初中所學的一次函數的區別與聯系.事實上，直線的斜截式方程y=kx+b不完全等同于一次函數的解析式，因為一次函數的解析式是y=kx+b(k≠0)，而直線的斜截式方程y=kx+b中的k∈R，即{一次函數y=kx+b的圖像}{斜截式方程y=kx+b表示的直線}.如課堂上能適時進行比較，則可深化學生對斜截式方程的理解，滲透“函數與方程思想”.

(2)對于“當堂檢測”中學生出現的錯誤沒有讓學生先獨立思考、糾錯，而是由教師直接點撥、指正，這種處理方式是不恰當的.應該像處理學生在例題和練習中出現的錯誤一樣，要放手讓學生先自行糾錯，而不是直接告知，因為教師的直接告知會造成學生對自己的錯因剖析不透，可能下次再遇類似題目時，還會老錯誤重犯，導致“當時聽懂，過后仍不會做題”的現象發生.(后來該教師告訴我們說，課前設計的時候，準備給學生時間自行訂正的，后因時間緊迫，所以自己越俎代庖了，深感遺憾！)

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003，4：1.